Question

用mathematica把正态分布函数的逆函数展开成幂级数,得到了这个奇怪的式子,求解释...

偶然想把正态分布函数求逆的运算展开成幂级数,看是否方便用计算器估算.运行了如下语句:

Series[InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 1 - x], {x, 0, 10},
Assumptions -> 0 < x < 1]

得到了下面的式子:

Sqrt[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[x] - Log[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[x]]] + O[x]^11

看起来有些奇怪,我增大了幂级数的项:

Series[InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 1 - x], {x, 0, 1000},
Assumptions -> 0 < x < 1]

结果却是:

Sqrt[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[x] - Log[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[x]]] + O[x]^1001

这样看起来,似乎前面那项应该是精确表达式了,但实际运行如下语句:

{InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], #],
Sqrt[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[1 - #] -
Log[Log[1/(2 \[Pi])] - 2 Log[1 - #]]]} & /@ {0.9, 0.925, 0.95,
0.975, 0.99, 0.995}

结果却是:

{{1.2815515655446006, 1.3226577374030006},
{1.4395314709384563, 1.4614688452505076},
{1.6448536269514722, 1.6521546739636983},
{1.9599639845400538, 1.9565041961310443},
{2.3263478740408408, 2.318342386507109},
{2.5758293035489004, 2.56684701349088}}

可见仍是有差距的.

我想问问,第一,为什么会出现上面的情况?也即是说,为什么幂级数部分的系数会始终为零?我很难相信这样的表达式会在某一项开始突然系数非零了...
第二,正态分布函数的逆函数是否能展开为幂级数,展开后的具体形式应该是什么?

100分虚心求教,也希望大家回答的别太简短了,我网上搜了一圈才来提问的...感谢了^^

Answer 1

这其实更多的是一个数学问题。从没有哪本教科书保证过，任意函数在任意点的幂级数展开都是收敛的。高阶无穷小和收敛是两个概念，O[x]^1001仅能表明误差的大小是远小于[x]^1001的，而收徒敛是要求这项趋0，其实你的这个展开和原函数的差距可根本不是”有差距”这么简单，你可以看下它们在0到1的图像，那差别叫一个壮观啊。
在我看来，你的展开式之所以连幂级数都不是了，那是因为你压根就没有选择一个实际存在的“点”做为展开点：x=0处，原函数趋于无穷，所以幂级数恐怕也会表现为极限形式。
试了一下，只要把你的展开点移到中点来，这级数就能顺利逼近了：
a = Normal@
Series[InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 1 - x], {x, 1/2, 10},
Assumptions -> x > 0];
b = InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 1 - x];

Plot[{a, b, a - b}, {x, 0, 1}, PlotRange -> All,
PlotStyle -> {Red, Blue, Green}]

Answer 2

我告诉你吧:
你是在x=0处展开的,但是x→0+时,你给的函数值是+∞,所以在该处展开肯定是不收敛的.
你可以在其它位置展开就没有问题了.比如你运行下面的代码就可以在x=1/2处展开了.
Series[InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 1 - x], {x, 1/2, 10},
Assumptions -> 0 < x < 1]

Answer 3

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