Question

如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1，角BAC=120，异面直线B1C与A1C1所成角为60

1.求三棱柱ABC—A1B1C1体积 2.求二面角B1—AC—B的余弦值

Answer 1

把图先画出来
1. 已知棱垂直于底面，所以只须求出高就行了，因为底面面积已知
假设高BB1=h，则由已知可以知道B1C=√（3+h^2）,B1A=√(1+h^2), AC=1, 角ACB1=60°
从而由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bccosA)可以解出h=√6
从而三棱柱体积V=1/2*1*1*sin120°*√6=3√2/4
2. 要求出二面角，那么就要过B与B1点做AC的垂线，因为钝角的关系，所以B1P垂直于AC，交AC的延长线于P点，容易验证B1P也垂直于AC（利用直角三角形B1PC中，角ACB1=60度，可以求解出PC=1.5）
于是在三角形B1PB中，角B1PB即为所求的二面角
直角三角形B1PC中可以求解出B1P=3√3/2， 直角三角形BPC中可以求出BP=√3/2，又B1B=√6
所以再次用余弦定理可以知道(B1P)^2+(BP)^2-2BP*B1P*cosM=(B1B)^2
最后解出cosM=1/3

Answer 2

把图先画出来
1. 已知棱垂直于底面，所以只须求出高就行了，因为底面面积已知
假设高BB1=h，则由已知可以知道B1C=√（3+h^2）,B1A=√(1+h^2), AC=1, 角ACB1=60°
从而由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bccosA)可以解出h=√6
从而三棱柱体积V=1/2*1*1*sin120°*√6=3√2/4
2. 要求出二面角，那么就要过B与B1点做AC的垂线，因为钝角的关系，所以B1P垂直于AC，交AC的延长线于P点，容易验证B1P也垂直于AC（利用直角三角形B1PC中，角ACB1=60度，可以求解出PC=1.5）
于是在三角形B1PB中，角B1PB即为所求的二面角
直角三角形B1PC中可以求解出B1P=3√3/2， 直角三角形BPC中可以求出BP=√3/2，又B1B=√6
所以再次用余弦定理可以知道(B1P)^2+(BP)^2-2BP*B1P*cosM=(B1B)^2
最后解出cosM=1/3