Question

如图所示，P是等边三角形ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5，求△ABC的边长

Answer 1

你没图啊，答案是2√2+√17
软件最大问题是作图不便
提示：你自己做图完成
以A为中心，将△PAB向外旋转60度，使AB与AC重合，连接PP‘
过P’作AC的垂线P‘E
△P’CP是Rt△
∠P‘AC=45
则P’E=AE=2√2
EC=√(P’C^2-PE‘^2)=√17
所以边长AC=2√2+√17

追问

∠P’AC为什么等于45°

追答

从∠APC着手
∠APC=∠P‘PC+∠APP’=90+60=150
∠P‘AC=∠P’AP-∠CAP=60-15=45

追问

∠APC=150°，而PA≠PC，所以∠CAP不可能等于15°，那么∠P’AC就不可能等于45°

追答

以A为中心，将△PAB向外旋转60度，使AB与AC重合，连接PP‘
过P’作AC的垂线P‘E
△P’CP是Rt△
S四边形P‘APC=S△P’CP+S△P’AP=6+4√3
同理以B、C旋转出去，求相应四边形面积
S2=6+25√3/4
S3=6+9√3/4
三个四边形面积为原来正三角形面积2倍
则原S△ABC=9+25√3/4=√3a^2/4
边长a^2=25+ 12√3

Answer 2

将PA沿A点逆时针旋转60°，使P点落到D点，连接PD，CD
由旋转含义知：∠PAD=60°，PA=AD
∴△PAD是等边三角形，有PD=PA=4，且∠APD=60°
等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB
∴∠BAC=∠PAD
而∠BAP=∠BAC-∠PAC
∠CAD=∠PAD-∠PAC
∴∠BAP=∠CAD
于是，在△BAP和△CAD中：
AB=AC，∠BAP=∠CAD，PA=AD
∴△BAP≌△CAD
∴CD=PB=5
在△PCD中，三边PD=4,CD=5,PC=3
很容易得出：CD^=PD^+PC^
由勾股定理逆定理可得出:
∠CPD=90°
∴∠APC=∠CPD+∠APD=90°+60°=150°
于是，在△APC中，已知两边PA=4,PC=3,以及两边夹角∠APC=150°，
可根据余弦定理求出AC的长：
AC^=PA^+PC^-2*PA*PC*cos∠APC
代入各个数值，可求出：
AC=√(25+12√3)
即AB=√(25+12√3)
当然没学余弦定理还可以作APC补角的高，可得