Question

一道平面几何题 如图，圆O内切于四边形ABCD，作平行四边形OAQC、OBPD，求证P、O、Q三点共线.

这道题有向量背景，但我用向量方法想了很久没有结果.
只要做出来，不管用什么方法

Answer 1

设圆O的半径为R，AB、BC、CD、DA边的切点分别为E、F、G、H，由圆O内切于四边形ABCD得|BC|+|DA|=AB|+|CD|。向量OP=OB+OD,向量OQ=OA+OC，O、P、Q共线，只需外积OPxOQ=(OB+OD)x(OA+OC)=0，即 -OAxOB+OBxOC-OCxOD+ODxOA=-ABxEO+BCxFO-CDxGO+DAxHO=0，又向量ABxEO、BCxFO、CDxGO、DAxHO同向，于是|-ABxEO+BCxFO+CDxGO+DAxHO|=|-|ABxEO|+|BCxFO|-|CDxGO|+|DAxHO||=|-|AB|x|EO|+|BC|x|FO|-|CD|x|GO|+|D|x|HO||=||BC|+|DA|-|AB|-|CD||R=0，故O、P、Q共线。
仅提供参考！

追问

额，我是一个高中生，水平有限，不知道向量的外积
I am sorry...但是非常感谢你的证明！那么你能够提供其他方法吗？

Answer 2

用坐标法O为原点，A、B、C、D为已知坐标，并假设P、O、Q共线，且其连线为横坐标。
P为过B点且//OB的直线和过过D点且//OD的直线的交点；Q点同理。如果得出P(X,0)，Q(Y,0)，则三点共线。实际上就是向量。没有具体计算，仅提供参考。

Answer 3

连结OQ、AC交于M、连结OP、BD交于N、
不妨设圆O半径为1，O为原点，
圆O与DA、AB、BC、CD的切点按逆时针顺次为：
　H(1，0)、E(cosα，sinα)、F(cosβ，sinβ)、G(cosγ，sinγ)，
其中0<α<β<γ<2π，设θ=(α+β+γ)/2，
则O到HE、EF、FG、GH的距离分别为：
　cos(α/2)、cos[(β-α)/2]、cos[(γ-β)/2]、cos[(2π-γ)/2]
∴OA=1/cos(α/2)、OB=1/cos[(β-α)/2]、
　OC=1/cos[(γ-β)/2]、OD=1/cos[(2π-γ)/2]，
∴A(1，sin(α/2)/cos(α/2))，
　B(cos[(β+α)/2]/cos[(β-α)/2]，sin[(β+α)/2]/cos[(β-α)/2])，
　C(cos[(γ+β)/2]/cos[(γ-β)/2]，sin[(γ+β)/2]/cos[(γ-β)/2])，
　D(1，sin[(2π+γ)/2]/cos[(2π-γ)/2])，
Mx/Nx={1+cos[(γ+β)/2]/cos[(γ-β)/2]}/{1+cos[(β+α)/2]/cos[(β-α)/2]}
=cos[(β-α)/2]{cos[(γ-β)/2]+cos[(γ+β)/2]}/cos[(γ-β)/2]{cos[(β-α)/2]+cos[(β+α)/2]}
={cos[(β-α)/2]cos(β/2)cos(γ/2)}/{cos[(γ-β)/2]cos(α/2)cos(β/2)}
={cos[(β-α)/2]cos(γ/2)}/{cos[(γ-β)/2]cos(α/2)}
My/Ny={sin(α/2)/cos(α/2)+sin[(γ+β)/2]/cos[(γ-β)/2]}/{sin(γ/2)/cos(γ/2)+sin[(β+α)/2]/cos[(β-α)/2]}
=cos(γ/2)cos[(β-α)/2]{sin(α/2)cos[(γ-β)/2]+cos(α/2)sin[(γ+β)/2]}/cos(α/2)cos[(γ-β)/2]{cos[(β-α)/2]sin(γ/2)+cos(γ/2)sin[(β+α)/2]}
=cos(γ/2)cos[(β-α)/2]{sinθ+sin(θ-α)+sin(θ-α)+sin(θ-β)+sin(θ-γ)}/cos(α/2)cos[(γ-β)/2]{sinθ+sin(θ-α)+sin(θ-α)+sin(θ-β)+sin(θ-γ)}
={cos(γ/2)cos[(β-α)/2]}/{cos(α/2)cos[(γ-β)/2]}=(Mx/Nx)
∴kOM=My/Mx=Ny/Nx=kOM
∴M、O、N三点共线，又O、M、Q共线，O、N、P共线，
∴P、O、Q三点共线．