Question

一道初三数学题，来帮帮我好不

如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P

1.当AE=5，P落在线段CD上时，PD=—— （AF不等于DF）
2.当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于——

Answer 1

1.
△AEF≌△PEF
PE=AE=5
作PH⊥AB于H
PH=AD=4
∠PHE=Rt∠
由勾股定理
HE=3，AH=2，PD=2
2.
当P落在直角梯形ABCD内部，如果直角梯形ABCD内部不包括边界，则好像一般不存在最小值。
仔细琢磨了一下好象有解。
取F为AD中点，作点P与点A关于BF对称（EB、重合），则点P具有最小性。
正解如下：
设AE=x<=8，
PD>=DE-AE
=√(16+(x^2))-x
=16/(√(16+(x^2))+x)
当x=8且D、P、E为一直线时
PD的值最小，
此时PD=4√(5)-8。

Answer 2

解：
1、过点P作PO⊥AB于O，则PO=AD=4，PD=AO
∵△AEF≌△PEF
∴AE=PE=5
∴Rt△POE中，OE²=5²-4²=9
OE=3
那么：AO=AE-OE=5-3=2
则：PD=2
2、当点E，F与点A所成的三角形面积最小时，PD有最小值。
当点P落在直角梯形内部，则有点A，F的距离最小才能满足要求：PD最小。
当：AF=0时，PD=0

Answer 3

解：
1、过点P作PO⊥AB于O，则PO=AD=4，PD=AO
∵△AEF≌△PEF
∴AE=PE=5
∴Rt△POE中，OE²=√(5²-4²)=√9
OE=3
∵AO=AE-OE=5-3=2
∴PD=2
2、解：边接DB,将AB对折使AB和DB重合，AB=PB=8点A的落点记为P，
DB＝AD^2+AB^2=√(4^2+8^2)=√(16+64)=√80
∵PD=DB-PB=√80-8
PD的最小值等于√80-8