Question

如图,AB为半圆O的直径,以AO为直径做半圆M,C为OB的中点,⊙O的弦AE交⊙M于D

如图,AB为半圆O的直径,以AO为直径做半圆M,C为OB的中点,⊙O的弦AE交⊙M于D,MD⊥CD,若AB=4，求图中阴影部分的面积

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

 

由M、C分别为OA、OB的中点得MC=1/2AB=2，MD=1，

∵MD⊥CD，∴CD=√(MC^2-MD^2)=√3，

cos∠MD/MC=1/2，∴∠DMC=60°，∠DCA=30°

连接OD，则ΔODM是等边三角形，OD=OM=1，

∴∠A=1/2∠DMO=30°，

连接OE，∴∠E=∠A=30°，∴∠AOE=120°，

∴S扇形OAE=1/3S圆=1/3π*2^2=4π/3。

∵OA为直径，∴OD⊥AE，且AD=DE=CD=√3，

∴SΔOAE=1/2*AE*OD=√3，

SΔACD=3SΔDMO=3√3/4，

∴S弓形APE=S扇形OAE-SΔOAE=4π/3-√3，

S阴影=S半圆-S弓形APE-SΔADC=

8π-4π/3+√3-3√3/4=20π/3-√3/4。 

Answer 2

作DN⊥AB
因为MO＝MD＝OC
所以根据勾股定理算出DC＝√3
所以ΔMDC的面积为√3／2
所以可以算出DN＝√3／2
根据DN／DC＝1／2
所以∠DCA＝∠DAC＝30°
则ΔADC的面积为﹙3×2√5﹚／2＝3√5
扇形AEB的面积为π／3
所以S阴＝S扇－SΔADC＝π／3－3√5