Question

高中数学奇函数的问题

设f(x)为奇函数，当x在(0，正无穷)的范围时，f(x)=x平方-1,则使f(x)>0的x取值范围是
A.x>或x<-1
B.x<-1或0<x<1
C.-1<x<1
D.x>1或-1<x<0
求解答过程！！越详细越好！！！

Answer 1

已知x>0,f(x)=x^2-1,f（x）为奇函数，这里先要将f(x)的解析式补充完整。
先求x<0的解析式
取x<0,有-x>0,则f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1
有因为奇函数f(-x)=-f(x)
所以有f(x)=1-x^2。
此分段函数完整的解析式子为 f(x)=x^2-1 （x>0）f(x)=1-x^2（x<0）
因为两段都是2次函数图象的一部分，可以通过作图法，要使得f(x)>0，找X轴上方的图象就行
最后答案为 D
比较简单的做法是先画出x>0那一部的图象，然后用奇函数的图象关于原点对称可以画出x<0部分的图象，再读图就好了。这样做准确又简便。

Answer 2

解：x在(0，正无穷)时，f(x)=x²-1,
故当x在（负无穷，0）时，-x就在(0，正无穷)范围内，此时由前面可得f（-x）=（-x）²-1=x²-1
又由f(x)为奇函数可知x=0时f（x）=0，且在R上，f（-x）=-f(x)
所以当x在（负无穷，0）时，f(x)=-f(-x)=-(x²-1)=1-x²
所以可得到f(x)在R上的解析式，在根据解析式作图，由图容易得到f（x）>0的x的取值范围为
（-1,0）并（1，正无穷）
所以选择D

Answer 3

答案是D，理由如下：当X大于0时，由X²-1＞0解得，X＞1，
因为是奇函数，所以图像性质相反，即当X＜-1时f(x)＜0,所以当-1＜X＜0时，f(x)＞0
故选D

Answer 4

(0,正无穷），f(x)=x^2-1, x^2-1>0,得x>1(由前面的范围舍去x<-1)
(负无穷，0），f(x)= -x^2+1, -x^2+1>0,得-1<x<0(由前面范围舍去0<x<1）
故x取值范围为（-1,0)并（1,正无穷）

Answer 5

由题意可得当x＞0时，f（x）=x2-1＞0
x>1
f(x)为奇函数f(-x)= - f(x)
当x<0时f(x)=-f(-x)= -x2+1>0
-1<x<0
D