Question

用“p→q=~p∨q”证明：（p→q）∧（q→r）=> p→r

Answer 1

（p→q）∧（q→r）
=（~p∨q）∧（~q∨r）
=（~p∧（~q∨r）)∨(q∧（~q∨r）)
=(（~p∧~q)∨（~p∧r）)∨((q∧~q）∨(q∧r）)
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨(0）∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨（~p∨q)∧r）
=（~p∨(（~p∨q)∧r）)∧(~q∨(（~p∨q)∧r）)
= （~p∨(~p∨q))∧（~p∨r）)∧(~q∨（~p∨q)）∧(~q∨r)
=（~p∨q)∧（~p∨r）)∧(~q∨r)
=(（~p∨q)∧(~q∨r) ))∧（~p∨r）
即：
(（p→q）∧（q→r）) = (（p→q）∧（q→r））∧（ p→r）

下面，为书写方便，设 A=（p→q）∧（q→r）， B= p→r
由上有 A=A∧B
于是 ~A∨B=~（A∧B）∨B=~A∨~B∨B = 1
即 A=> B 恒成立。
所以：（p→q）∧（q→r）=> p→r

追问

= （~p∨(~p∨q))∧（~p∨r）)∧(~q∨（~p∨q)）∧(~q∨r)
=（~p∨q)∧（~p∨r）)∧(~q∨r)

这一步是怎么得来的

追答

（~p∨(~p∨q))=~p∨~p∨q=（~p∨q)

(~q∨（~p∨q)）= ~q∨q∨~p= 1∨~p=1 于是可以消掉。

另两个没变

Answer 2

应该是(┐P∧Q)∧(┐R∧Q)⇔(┐(P∨R)∨Q))
　　　　　　　　　　(┐P∧(┐R∧Q))∨(Q∧(┐R∧Q))
　　　　　　　　　　(┐P∧┐R∨┐P∧Q)∨(Q∧┐R∨Q∧Q)
另一种
P→Q=┐P∨Q,
因此前者=(┐P∨Q)∧(┐R∨Q)
=(┐P∧┐R)∨Q
=┐(P∨R)∨Q,,也就是P∨R→Q
没学逻辑论也一看就是显然的

对于常人来说
(燕子低飞→要下雨)∧(蚂蚁搬家→要下雨)⇔(燕子低飞∨蚂蚁搬家→要下雨)

数理逻辑。。。。
LS关键要给LZ解释P->Q=P'并Q是正确的。
我这个老师很牛的！

Answer 3

证明 （p→q）∧（q→r）=> p→r 7（ p→q=~p∨q） 不可满足即可

Answer 4

证:(p→q)∧（q→r）
=（~p∨q）∧（~q∨r）
=[~p∧（~q∨r）]∨[q∧（~q∨r）]
=[（~p∧~q)∨（~p∧r）]∨[(q∧~q）∨(q∧r）]
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨0∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨[（~p∨q)∧r]
={~p∨[（~p∨q)∧r]}∧{~q∨[（~p∨q)∧r]}
={[~p∨(~p∨q)]∧（~p∨r）}∧{[~q∨（~p∨q)]∧(~q∨r)}
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧1∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧(~q∨r)]∧（~p∨r）
=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
即有
(p→q)∧（q→r）=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
所以
{~[(p→q)∧（q→r）]}∨（ p→r）
=~{[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）}∨（ p→r）
={~[（p→q）∧（q→r）]}∨[~（ p→r）]∨（ p→r）
=1

Answer 5

证:(p→q)∧（q→r）
=（~p∨q）∧（~q∨r）
=[~p∧（~q∨r）]∨[q∧（~q∨r）]
=[（~p∧~q)∨（~p∧r）]∨[(q∧~q）∨(q∧r）]
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨0∨(q∧r）d=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨[（~p∨q)∧r]
={~p∨[（~p∨q)∧r]}∧{~q∨[（~p∨q)∧r]}
={[~p∨(~p∨q)]∧（~p∨r）}∧{[~q∨（~p∨q)]∧(~q∨r)}
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧1∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧(~q∨r)]∧（~p∨r）w:(p→q)∧（q→r）
=（~p∨q）∧（~q∨r）
=[~p∧（~q∨r）]∨[q∧（~q∨r）]
=[（~p∧~q)∨（~p∧r）]∨[(q∧~q）∨(q∧r）]
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨0∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨[（~p∨q)∧r]
={~p∨[（~p∨q)∧r]}∧{~q∨[（~p∨q)∧r]}
={[~p∨(~p∨q)]∧（~p∨r）}∧{[~q∨（~p∨q)]∧(~q∨r)}
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧1∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧(~q∨r)]∧（~p∨r）
=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
即有
(p→q)∧（q→r）=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）

=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
即有
(p→q)∧（q→r）=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
所以
{~[(p→q)∧（q→r）]}∨（ p→r）
=~{[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）}∨（ p→r）
={~[（p→q）∧（q→r）]}∨[~（ p→r）]∨（ p→r）
=1
即（p→q）∧（q→r）=> p→r 恒成立 证毕