Question

用反证法证明：设0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.求证：b－ab，c－cb，a－ac，不同时大于1/4.

Answer 1

证：
设b－ab>1/4，c－cb>1/4，a－ac>1/4
则
b－ab>1/4，b(1-a)>1/4, b>1/(4(1-a)) ( 注意(1-a)>0）
c－cb>1/4，b<(c-1/4)/c ( 注意c>0）
即1/(4-4a)<b<(c-1/4)/c
1/(4-4a)<(c-1/4)/c
c<(4-4a)(c-1/4) =4(c-ac) ( 注意(1-a)>0，c>0）
1/4<c-ac
ac<c-1/4
另一方面，由a－ac>1/4，知ac-a<1/4, a>1/4(1-c)
1/4(1-c)<c-1/4
1-c<4c-4
即 c>1 与假设矛盾，故b－ab，c－cb，a－ac，不同时大于1/4。

Answer 2

用反证法：
假设同时大于1/4
则（b－ab）（c－cb）（a－ac）
=(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a>=1/64
即 (1-a)a*(1-b)b*(1-c)c>=1/64
由基本不等式知
(1-a)a<=1/4,(1-b)b<=1/4,(1-c)c<=1/4
三式相乘，得(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c<=1/64 与上面矛盾
假设不成立

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