Question

数学分析中一致收敛与收敛有什么区别?

如题，简单论述一下两者的区别，尽量多点字吧200字左右， 十分感谢!

Answer 1

所谓一致的意思就是大家具有同样的性质或者同样的速度。
比如讲收敛。fn(x)在x点收敛是对任意的e>0，存在N=N(e,x)，
当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<e。这里的N通俗说就是衡量收敛速度的快慢的。
对给定的e，N越大的可以认为收敛的越慢，N越小的可以认为收敛的越快。
不同的x对应的N是不同的（即使是同样的e)，也就是不同的点收敛的快慢
是不一样的。再来看一致收敛。
对任给的e>0，存在N=N(e)，当n>N时，对任意的x，有
|fn(x)-f(x)|<e。这里的N不与x有关，只与e有关；e给定后，
N就可以确定了。也就是说，不同的地方收敛的速度基本上
是同样的，都可以用同一个N来控制。对比上面的逐点收敛而不一致收敛，
上面的逐点收敛一般是找不到同样的N的，你只能保证每一点都是收敛的，
但收敛的快慢是不一样的。如果举一个具体的例子，比如fn(x)=x^n，0<x<1.
越靠近1的地方，收敛于0的速度越慢，在整个(0,1)上是否能具有大致相同的
收敛速度呢（也就是给定e之后，能否找一个公共的N来控制呢）。可以知道，
这是办不到的。假设有一个这样的N，使得|x^n|<e<1对所有的x，当n>N时同时
都成立，固定每一个n，令x趋于1得到1<e。这个不等式显然不成立。

追问

有稍微正式一点的解释吗？我想做个提纲给别人

追答

什么样的算是正式的？书上都有正式的定义以及性质了。
对任给的e>0，存在N=N(e)，当n>N时，对任意的x，有
|fn(x)-f(x)|<e。这里的N不与x有关，只与e有关；e给定后，
N就可以确定了。这种话就是正式的了。

Answer 2

说fn(x)在A中一致收敛于f(x)是指：
lim{n->∞}sup{x属于A}|fn(x)-f(x)|=0 (sup表示上确界或者初略地理解为最大值}
但收敛则是
lim{n->∞}|fn(x)-f(x)|=0