Question

关于大一高数的一道题

arcsin（sinA＋sinB）＋arcsin（sinA－sinB）＝2分之派
则 sin²A＋sin²B＝？

Answer 1

arcsin（sinA＋sinB）=α，
arcsin（sinA－sinB）=β
则α+ β=π/2,
sinA＋sinB=sinα, sinA－sinB=sinβ

所以，sinA=(sinα+sinβ)/2, sinB=(sinα-sinβ)/2
sin²A＋sin²B =(sinα+sinβ)^2/4+(sinα-sinβ)^2/4
=(sin^2α+sin^2β)/2
=(sin^2α+sin^2(π/2-α))/2
=(sin^2α+cos^2α)/2=1/2

Answer 2

arcsin(sinA+sinB)=π/2-arcsin(sinA-sinB)
sin[arcsin(sinA+sinB)]=sin[π/2-arcsin(sinA-sinB)]
sin[arcsin(sinA+sinB)]=cos[arcsin(sinA-sinB)]

sinA+sinB=√[1-(sinA-sinB)^2]
(sinA+sinB)^2=1-(sinA-sinB)^2
sin^2A+2sinAsinB+sin^2B=1-sin^2A+2sinAsinB-sin^2B
2(sin^2A+sin^2B)=1
sin^2A+sin^2B=1/2

Answer 3

arcsin（sinA＋sinB）＋arcsin（sinA－sinB）＝π/2
arcsin（sinA＋sinB）＝π/2-arcsin（sinA－sinB）
sin[arcsin（sinA＋sinB）]＝sin[π/2-arcsin（sinA－sinB）]
sinA＋sinB=cos[arcsin（sinA－sinB）]
(sinA＋sinB)^2={cos[arcsin（sinA－sinB）]}^2
(sinA＋sinB)^2=1-{sin[arcsin（sinA－sinB）]}^2
(sinA＋sinB)^2=1-（sinA－sinB）^2
(sinA＋sinB)^2+（sinA－sinB）^2=1
sin²A＋sin²B＝1/2