Question

求y=(1+e^-x^2)/(1-e^-x^2)的渐近线，如何判断函数的间断点

为什么只有间断点x=0?,求详解

Answer 1

求y=[1+e^(-x²)]/[1-e^(-x²)]的渐近线，如何判断函数的间断点

解：由 1-e^(-x²)=0，得 e^(-x²)=1，即 有 -x²=0，故得间断点x=0.

y=[1+e^(-x²)]/[1-e^(-x²)]=[e^(x²)+1]/[e^(x²)-1]

x→0lim{[e^(x²)+1]/[e^(x²)-1]}=±∞，故x=0是其无穷型间断点，y轴是其垂直间渐近线。

x→±∞lim{[e^(x²)+1]/[e^(x²)-1]}=x→±∞lim[(2xe^x²)/(2xe^x²)]=1，故x=1是其水平渐近线；

图像如下： 

Answer 2

所谓渐近线就是曲线f（x）所接近的直线即当f（x）=0，即(1+e^-x^2)/(1-e^-x^2)=0，此时必须保证分母不为0，所以1-e^-x^2不等于0，e^-x^2不等于1，x^2不等于0，所以x不等于0，所以x=0是间断点

追问

那y=xln(e+1/x)(x>0)的间断点呢？

追答

第一种间断点就是在这一点上函数无意义，为此要考虑两点：1）保证e+1/x>0, 2)保证1/x不为0，因为x>0,所以e+1/x>0与1/x不为0在定义域中恒成立，所以在定于域中此函数没有第一类间断点，第二类limf(x)（左接近与x0左极限）不等于limf(x)（右接近x0即右极限）或f（x0），那么这样的x=x0也是间断点，这一类在分段函数出现的比较多，如y=3(x>2)y=4(x<=2),此时我们就说x=2是间断点，所以综合看除了x=0处，没有符合第二类间断点的，至于x=0算不算，你自己应该有判断