Question

线性代数：设A,B是满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有？

正确答案是A的列向量组线性相关，B的行向量线性相关。能不能帮我用线性方程AX=0分析下，自己用这个得到了相反的答案。

Answer 1

应该是A的每一行乘以B的每一列等于0，那么B的每一列就是AX=0的解，而齐次方程的解系应该都是线性无关的，所以B的列向量必然线性无关同理A的行向量也是线性无关。

而|A||B|=0 所以A B的行列式必然要为0，那么A、B必然不是满秩，所以A的列向量组线性相关，B的行向量线性相关。

扩展资料：

非零矩阵中所含元素不全为零，即其为至少有一个元素不为零的矩阵，也就至少存在一个一阶行列式的值非零。所以非零矩阵的秩r≥1。

非零矩阵乘积为零的条件：AB=0的充要条件是B中的列向量均为Ax=0的解。（也可以说为B是由Ax=0的解空间中n个向量构成的矩阵）

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

参考资料来源：百度百科--非零矩阵

Answer 2

你这样想 AB=0如果用矩阵方程的形式来写是什么样的呢
应该是A的每一行乘以B的每一列等于0 那么B的每一列就是AX=0的解 而齐次方程的解系应该都是线性无关的 所以B的列向量必然线性无关同理A的行向量也是线性无关
而|A||B|=0 所以A B的行列式必然要为0 那么A B 必然不是满秩 所以A的列向量组线性相关，B的行向量线性相关

Answer 3

首先设A是m*n的而B是n*s的
则AB=0必有r(A)+r(B)<=n（这个结论如果你不知道，请查百度知道，太多太多人问这个问题）
因为A,B非零，故r(A)>0,r(B)>0。
故r(A)<n,r(B)<n
那么A的列向量组线性相关，B的行向量线性相关