Question

问一个高数极限问题？

1.当f(x)取向与正无穷,g(x)趋向于负无穷时,讨论f(x)+g(x)和f(x)-g(x)的极限？2.当f(x)取向无穷，g(x)取向无穷时，f(x)+g(x)和f(x)-g(x)的极限是多少？

Answer 1

1、.当f(x)取向与正无穷,g(x)趋向于负无穷时
f(x)+g(x)是正无穷加负无穷，结果不能确定定；
f(x)-g(x)是正无穷减负无穷，结果为正无穷；

2、由于f(x)和g(x)均是趋于无穷，不清楚正负关系，因此f(x)+g(x)与f(x)-g(x)结果均是不能确定。

追问

可以解释一下吗？如果有例子更好！

追答

1、当x→+∞时
f(x)=x，g(x)=-x，这两个函数满足条件，它们相加结果为0；
f(x)=x，g(x)=-x²，这两个函数也满足条件，它们相加结果极限为-∞；
f(x)=x²，g(x)=-x，这两个函数也满足条件，它们相加结果极限为+∞；
f(x)=x+1，g(x)=-x，这两个函数也满足条件，它们相加结果极限为1；
所以看到了，结果不确定，什么情况都可能发生。

第2题你可以用类似的思路找出反例。

追问

能不能有个更一般性的证明呢？

追答

正确才需要证明，不正确的找出反例就可以了。

打个比方：如果你说你们班所有人的身高都在170cm以上，要想说明你是对的，你必须把所有同学一个一个量一下，证明给别人看。但要想说明你是错的，只需要找出一个身高不足170的就够了。

追问

再问最后一次，那会不会存在正无穷变大的速度比负无穷变小的速度大这种情况呢？有影响吗？

追答

f(x)趋于正无穷，g(x)趋于负无穷，他们的速度有可能不同，谁快都是有可能的。
我前面的例子中既有正无穷速度快的，也有负无穷速度快的，也有它们速度相当的。总之什么情况都有可能出现。因此是个不确定的结果。

Answer 2

1.0 正无穷
2. 无穷 0