Question

可积、存在原函数与连续的关系（回答好再＋10分！）

为什么连续函数一定存在原函数并且一定可积，但存在原函数不一定可积，可积也不一定存在原函数？

这个问题一直困扰我很久了，一直记不住，忘大侠相助！

Answer 1

①可导与导函数：

可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导；只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。

②可积与原函数
对于不定积分：[同济五版(上)]给出的定义是：
在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。
对于定积分：同济五版对定积分可积有给出两个充分条件：
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。(因为连续函数的原函数必存在！反之不成立。）
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分；
函数在某个区间[a,b]存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。

③可导与连续
函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导。

④连续与可积
如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积；反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。

Answer 2

存在原函数跟可积是两回事，是两个不同的集合。
一元函数，存在原函数和可积有交集，连续是这个交集的子集。
在考研论坛上，我搜到过一个帖子，里面一个pdf（丢了，你自己再去搜吧），啥子数学学院啥子人的一篇小论文，就那种你从教育网站点登陆万方之类的网站可以下载到的东西。证明了一元函数，存在原函数和可积的交集，连续是这个交集的子集。我没记错的话，证明过程相当复杂，超纲，如果为了考研的话，知道结论就好了，没必要每个定理都要背过推导过程。

Answer 3

我也不知道，你问问别人吧？