Question

椭圆与直线问题

1，已知椭圆x^2／16+y^2／9=1，求点P（2，1）为中点时所在的直线方程
2，已知直线过p（0，2）且被圆x^2+y^2=4截得的弦长为2，求直线方程
3，求圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切与点P（2，-1）的圆的方程

Answer 1

1.设所求直线与椭圆的两个交点是A(x1,y1),B(x2,y2)，
则有(x1)²/16+(y1)²/9=1，(x2)²/16+(y2)²/9=1，
两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0，
∵点P(2,1)是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，代入上式，
得(x1-x2)/4+2(y1-y2)/9=0，
∴(y1-y2)/(x1-x2)=-9/8，即直线AB的斜率是-9/8，
故直线AB的方程是y-1=(-9/8)(x-2)，即9x+8y-26=0。
2.设过点P(0,2)的直线方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，
圆x²+y²=4的圆心到直线的距离d=|0-0+2|/√(k²+1)=2/√(k²+1)，圆半径r=2，
∵直线被圆截得的弦长为2，
∴由勾股定理得d²+(2/2)²=r²，即4/(k²+1)+1=4，解得k=±√3/3，
故所求直线方程为y=±(√3/3)x+2。
3.设所求圆的圆心为C(a,b)，∵圆心在直线y=-2x上，
∴b=-2a，即C(a,-2a)，
由题意，点C到切线x+y-1=0的距离=|PC|=r，
∴|a-2a-1|/√2=√[(a-2)²+(-2a+1)²]，整理得a²-2a+1=0，
∴a=1，故r=√2，所求圆的方程是(x-1)²+(y+2)²=2。

Answer 2

设两交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，所求弦的斜率为k，则由点斜式可写出弦的直线方程：y-1=k(x-2)，代入椭圆方程消y得：
x²/16+[1+k(x-2)]²/4=1，整理得
(4k²+1)x²-8k(2k-1)x+4(4k²-4k-3)=0，由韦达定理有
x1+x2=8k(2k-1)/(4k²+1) ………………①
x1*x2=4(4k²-4k-3)/(4k²+1) ………………②
因为点p(2,1)是弦AB的三等分点，由定比分点公式得
(x1+2x2)/3=2，整理得
x1+2x2=6 ………………③
①②③联立便可解出k的值，这们来解：
①③联立解得
x1=2(4k²-8k-3)/(4k²+1)
x2=2(4k²+4k+3)/(4k²+1)
上两式代入②得
[2(4k²-8k-3)/(4k²+1)]*[2(4k²+4k+3)/(4k²+1)]=4(4k²-4k-3)/(4k²+1)
展开化简得
24k²+32k+6=0
解之得k=(-4±√7)/6
代回前面所设的弦的点斜式得到弦的直线方程为：
y=[(-4+√7)x+(14-2√7)]/6或y=[(-4-√7)x+(14+2√7)]/6