求证f(x)=sinx/x在区间(0,π/2]单调递减
2个回答
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f(x)＝sinx/x，
f'(x)＝(xcosx－sinx)/x^2
＝cosx(x－tanx)/x^2，
注意到在(0，pi/2)上有cosx>0，tanx>x，x^2>0，
于是f'(x)<0，
f(x)递减。
f'(x)＝(xcosx－sinx)/x^2
＝cosx(x－tanx)/x^2，
注意到在(0，pi/2)上有cosx>0，tanx>x，x^2>0，
于是f'(x)<0，
f(x)递减。
更多追问追答
追问
定义域内x-tanx<0是图像得 ？
追答
那就再证明一下。
g(x)＝x－tanx，
g'(x)＝1－sec^2x＝－tan^2x<0，
于是g(x)递减，
g(x)<g(0)＝0。即
x<tanx。这个不等式是需要记住的，
sinx<x<tanx，
在证明sinx/x当x趋于0时极限是1的时候已经得到过，
当时是用图像证明的。
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