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不用化tanx
设f(x)=∫ sinx/(asinx+bcosx) dx
g(x)=∫ cosx/(asinx+bcosx) dx
则:af(x)+bg(x)=∫ 1 dx=x+C1 (1)
bf(x)-ag(x)=∫ (bsinx-acosx)/(asinx+bcosx) dx
=-∫ 1/(asinx+bcosx) d(bcosx+asinx)
=-ln|asinx+bcosx|+C2 (2)
(1),(2)两式联立即可解出f(x)和g(x)
然后原式=a1f(x)+b1g(x)=........
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。
设f(x)=∫ sinx/(asinx+bcosx) dx
g(x)=∫ cosx/(asinx+bcosx) dx
则:af(x)+bg(x)=∫ 1 dx=x+C1 (1)
bf(x)-ag(x)=∫ (bsinx-acosx)/(asinx+bcosx) dx
=-∫ 1/(asinx+bcosx) d(bcosx+asinx)
=-ln|asinx+bcosx|+C2 (2)
(1),(2)两式联立即可解出f(x)和g(x)
然后原式=a1f(x)+b1g(x)=........
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追问
这种代换明白,书上说能化成tan的函数求解,能说下那种方法吗? 顺便问下 你的积分符号都是怎么打出来的啊?
追答
积分符号在输入法的特殊字符里有,不同的输入法可能在不同的地方,你如果找不到,就复制一个积分符号,然后存到你的输入法里。
原式=∫ (a1tanx+b1)/(atanx+b) dx
令tanx=u,则x=arctanu,dx=1/(1+u²)du
=∫ (a1u+b1)/[(au+b)(1+u²)] du
下面可以按有理函数的积分法来积了。这个计算量应该要大一些。
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对于这种三角有理式,可以用技巧!观察发现(asinx+bcosx)`=acosx-bsinx
设 a1sinx+b1cosx=M(asinx+bcosx)+N(acosx-bsinx)
有方程组:aM-bN=a1
bM+aN=b1
解得 M= N=
原积分=M∫dx+N∫(acosx-bsinx)/(asinx+bcosx)dx
=
很容易求解的。
也可以化成tanx的函数 再换元令 t=tanx 则 x=arctant
原积分=∫(a1t+b1)/[(at+b)*(1+t^2)]dt
这就转化为有理式的积分了。
这是个假分式,拆成这种形式:
(a1t+b1)/[(at+b)*(1+t^2)]=A/(at+b)+(Bt+C)/(1+t^2)
根据恒等式 解出A、B的值
接下来就好求了!自己试试。
楼主是考研的吧!因为我也是。呵呵、、、
设 a1sinx+b1cosx=M(asinx+bcosx)+N(acosx-bsinx)
有方程组:aM-bN=a1
bM+aN=b1
解得 M= N=
原积分=M∫dx+N∫(acosx-bsinx)/(asinx+bcosx)dx
=
很容易求解的。
也可以化成tanx的函数 再换元令 t=tanx 则 x=arctant
原积分=∫(a1t+b1)/[(at+b)*(1+t^2)]dt
这就转化为有理式的积分了。
这是个假分式,拆成这种形式:
(a1t+b1)/[(at+b)*(1+t^2)]=A/(at+b)+(Bt+C)/(1+t^2)
根据恒等式 解出A、B的值
接下来就好求了!自己试试。
楼主是考研的吧!因为我也是。呵呵、、、
追问
谢谢!
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