Question

已知二元函数f(xy,x+y)=x^2+y^2,求f(x,y) 在线等，要详细过程。

请阐明一下与这个式子在解法上的不同之处
f(x+y,xy)=x²+y²，求f(x,y)
越详细越好。

Answer 1

令m=xy，n=x-y

则x^2+y^2=n^2+2m

故f（x，y）=2x+y^2

设x+y=u，xy=v，则

f(x+y,xy)=x²+y²=(x+y)² - 2xy =f（u，v）=u²-2v

此时我们可以看到 f(x，y) 与f（u，v）规则一样，都是f ，自变量的表达形式也一样（因为既然是自变量，函数的表达式的自变量可以用任何字母来表示，这并没有差别）。

因此f（u，v）=u²-2v中的u、v可以分别用x、y来代替

f（x，y）=x²-2y

二重极限存在

是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

Answer 2

设a=xy，b=x+y

f(xy，x+y)=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy

把a，b带f(a，b)=b^2-2a

所以f(x，y)=y^2-2x

同理f(x+y，xy)=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy=b^2-2a

所以f(b，a)=b^2-2a

也就是f(x，y)=x^2-2y

与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）。

扩展资料：

二重极限存在，以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式。

例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

Answer 3

设a=xy,b=x+y.
f(xy,x+y)=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy
把a,b带
f(a,b)=b^2-2a
所以f(x,y)=y^2-2x
希望对你有帮助。
同理f(x+y,xy)=x^2+y^2+2xy-2xy=(x+y)^2-2xy=b^2-2a所以f(b,a)=b^2-2a也就是f(x,y)=x^2-2y希望能对你有帮助

Answer 4

将x=4-2y代入原函数得
f(x,y)=(2y-4)²+y²+y(4-2y)=3y²-12y+16
根据抛物线法则，图像开口向上，对称轴y=2,代入最低点为（2，4）
f(x,y)≥4

Answer 5

f(xy,x+y)=x^2+y^2=-2xy+(x+y)^2
故f(x,y)=-2x+y^2