Question

一道初二几何题！求教怎么做！！

AB⊥BC,BF⊥AC,AD平分BAC,EG‖AC，求证BD=CG
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Answer 1

证明：过D做DM⊥AC，则必然有DM∥BF。

AD为∠BAC的平分线，所以BD=DM（角平分线上的点到角两边距离相等）

另∠ADB+1/2∠BAC=90°，而∠AEF+1/2∠BAC=90°，且∠AEF=∠BED，所以有∠ADB=∠BED

故△BED为等腰三角形，BE=BD

因此有BE=DM......................................................................................①

同时，EG∥AC，必然GE⊥BF于E，且∠C=∠EGB..............................②

因此在Rt△BEG和Rt△DMC中，必然存在∠EBG=∠MDC....................③

所以Rt△BEG≌Rt△DMC，也就有BG=DC

BD+DG=CG+GD

∴BD=CG

Answer 2

单独证它们相等，放在三角形中GC有困难，但若它们各加一段DG，则很容易发现BEG是直角三角形，只要对DC构建一个全等三角形，
过D作AC的垂线，则发现它正好是角平分线上D点到边的距离，与BD相等的，若BE与BD相等，则结论得证，
那么BE与BD相等吗？从角度关系也容易发现，角BED=1/2角A+角ABF=1/2角A+角C，角BDE=1/2角A+角C
过程略
通过上面证法，你很快会发现，用GC直接构建三角形也是可以的，因为BE与BD可证得相等，过E点作AB的垂线，过G点作AC的垂线。

Answer 3

有一个角平分线的定理不知道楼主知不知道，就是
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例

如果知道的话，那在△ABC中，AD为角平分线，所以AB/AC=BD/DC=BD/(DG+GC)
在△ABF中，AE为角平分线，所以AF/AB=EF/BE
又因为△BFC中，EG平行底边，所以EF/BE=GC/BG=GC/(BD+DG)
又易证Rt△ABF∽Rt△ACB，所以AF/AB=AB/AC
几个式子相等之后得到BD/(DG+GC)=GC/(BD+DG)
交叉相乘得到DG*GC+GC^2=BD^2+BD*DG
移项得GC^2-BD^2+DG*GC-BD*DG=0
(GC-BD)*(GC+BD+DG)=0
所以GC=BD

如果楼主不知道这个角平分线定理，这里以△ABC为例简单证明下：
S△ABD=AB*AB边的高/2=BD*BD边的高/2 所以AB/BD=BD边的高/AB边的高
S△ACD=AC*AC边的高/2=CD*CD边的高/2 所以AC/CD=CD边的高/AC边的高
很明显BD边的高与CD边的高是同一条（即AB）
AB边的高与AC边的高相等（角平分线的性质）
所以AB/BD=AC/CD 即AB/AC=BD/CD

Answer 4

做证明题首先得把图画准了 这样才能找到全等的三角形，自己首先在作业本上把图画准。
证明线段相等的方法有：全等，等角对等边，等量代换，等量加等量和相等，这道题我们选择最后一种方法。BD和CG在同一直线上，我们可以证明BG=CD.
图中给出了一个条件是教平分线所以首先想到的是 角平分线的性质定理 所以过D点做DM⊥AC，根据角平分线的性质定理可得BD=DM,同时这样也就出现了含有BG，CD两条线段且看起来全等的三角形，如果能够证明出它们全等这道题就做出来了。首先根据平行可以得到∠C=∠EGB,∠BEG=90°=∠DMC。两个角相等只需另外一条边了，我们证BE=DM.因为BD=DM，所以我们证明BE=BD,用等角对等边来证，∠BED=90°-∠DEG=90°-∠DAC,∠EDB=90°-∠BAD,而∠DAC=∠BAD， 所以∠BED=∠EDB，此题得证。

因为用的是三个字母表示的角相等，不容易看懂，静下心来，我交给你了做题的思路和方法，希望你进步。