Question

已知圆C:x^2+y^2-6mx-2(m-1)y+10m^2-2m-24=0,(1)求证无论m为何值，圆心在一条直线L上(2)求证：与L平行的

直线被圆所截得的线段长与m无关
答对另加分

Answer 1

(1)
x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0
(x - 3m)² + [y -(m-1)]² = 25
圆心C(3m, m-1), 半径5
令C(x, y): x = 3m, y = m - 1
消去m: y = x/3 - 1
圆心C在斜率1/3为的直线上

(2)
令直线为y = x/3 + c, x -3y + 3c = 0
C与该直线的距离为d = |3m -3(m-1) + 3c|/√(1² + 3²) = 3|c+1|/√10
直线被圆所截得的线段长l = 2*√(r² - d²)
r, d均与m无关，l也与m无关，

Answer 2

　　①x^2+y^2-6mx-2(m-1)y+10m^2-2m-24=0可化为：
　　﹙x-3m﹚²+﹙y-m+1﹚²=25
　　∴圆心坐标为（3m，m-1﹚，半径为5
　　设x=3m，y=m-1
　　则L：3y-x+3=0
　　即无论m为何值，圆心都在直线L：3y-x+3=0
　　②设与L平行的直线L‘的方程为：3y-x+c=0（c为常数）
　　直线L与L’之间的距离为│c-3│，
　　直线L被圆所截的线段即为圆的直径，
　　若直线L'与圆相交，设交点分别为A、B
　　过圆心O作OE⊥AB于点E，连接OA，
　　AB=2AE=2√25-﹙c-3﹚²]
　　所以与L平行的直线被圆所截得的线段长与m无关