Question

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．

（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．

Answer 1

因为∠ADE=∠C，∠AED=∠C+∠CDE，∠ADC=∠ADE+∠CDE
所以∠AED=∠ADC
因为AD=AB
所以∠B=∠BDA
因为∠BDA+∠ADE+∠CDE=180=∠C+∠CDE+∠CED，∠ADE=∠C
所以∠BDA=∠CED
所以∠B=∠DEC

因为∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，∠DAE=∠CAD
所以△ADE∽△ACD
所以AD/AE=AC/AD
所以AD^2=AE•AC
因为AD=AB
所以AB^2=AE•AC

Answer 2

证明：（1）在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，
∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，
∠ADC=180°-∠DAE-∠C，
∴∠AED=∠ADC．
∵∠AED+∠DEC=180°，
∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠DEC=∠ADB，
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B，
∴∠DEC=∠B

（2）在△ADE和△ACD中，
由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，
∴△ADE∽△ACD，
AD/AE=AC/AD
即AD^2=AE•AC
又AB=AD，
∴AB^2=AE•AC

Answer 3

在 △ADC和 △AED中
因为，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD
所以，△ADC和 △AED相似
所以，∠AED=∠ADC
因为，AD=AB
所以，∠B=∠ADB
因为，∠DEC=180-∠AED=180-∠ADC=∠ADB
所以，∠DEC=∠B