Question

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C、、、

（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．

Answer 1

(1)
在 △ADC和 △AED中
因为，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD
所以，△ADC和 △AED相似
所以，∠AED=∠ADC
因为，AD=AB
所以，∠B=∠ADB
因为，∠DEC=180-∠AED=180-∠ADC=∠ADB
所以，∠DEC=∠B

(2)
因为，△ADC和 △AED相似
所以，AE:AD=AD:AC
所以，AD^2 =AE×AC
因为，AD=AB
所以，AB^2 =AE×AC

Answer 2

1）在⊿AED和⊿ADC中，
∵∠ADE=∠C,公用∠CAD,且三角形内角和为180°
∴∠AED=∠ADC；
∵∠ADB+∠ADC=180°,∠AED+∠CED=180°,(平角性质)
∵∠AED=∠ADC,(已证)
∴∠ADB=∠CED;
又∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB;
∴∠B=∠CED(等效代换);

2）在⊿AED和⊿ADC中，
∵∠ADE=∠C,∠AED=∠ADC,公用∠CAD,
∴⊿AED∽⊿ADC，
∴AD/AC=AE/AD(相似三角形，对应边成比例)
又∵AB=AD,
∴AB/AC=AE/AB(等效代换)
即AB^2=AC·AE