Question

微积分第三版问题 求极限

求问第19,20,23题的详解（过程）或思路也好

Answer 1

19.
由于x→0，可以看到分母是0，即无法直接代值。但发现当x→0是，分母、分子均趋于0，故可以用洛必塔法则：分母x/n的导数是1/n，而分子的导数可大致判断是(1+x)的某次方×1/n，那么分子分母化简，即可得是(1+x)的某次方，当x→0时，整个就趋于1的某次方，当然是1.这就是极限.
20.
这个情况和第19一样。全部转化为分子导数÷分母导数，结果是-2
23.
这个略图有点不同。可以考虑用洛必塔法则来算。首先用分子有理化，可得原来函数已变为
(2x)/(√(x²+x+1)+√(x²-x+1))，当x→+∞，分子分母均→+∞，因此用求导得方法，此时步骤已经变得和上面一样了，最后结果是1

追问

谢谢你详细的解答！~
可是我是大一新生，刚学微积分
你的方法我还没有学到囧。。。
有菜鸟方法么？

追答

这个是最简单的了，你在学极限论的时候应该要学到罗比塔法则，你的这三个问题都是这种形式解的。如果没学建议去看一下吧，除此之外的方法就比较复杂了

Answer 2

19）20）题用分子分母同除x就行了。
23）题用（a-b)(a+b)/(a+b)的方式改变一下狮子结构，然后让分子变1就行了。

追问

19,20分子分母同除X依旧很诡异啊= =
23题搞定了谢谢~！

追答

因为x趋于0，但是不等于0，所以同除x是可以的，然后分母会出现常数，分子除以x直接就分配到根号里，算极限的时候也会出现常数。最后就是常数的加减乘除了。微积分的解题方法基本就是用洛必达法则，或者恒等变形的方式。

Answer 3

如果学过等价变量代换，其实这些题目都很容易。
怕你还没有学，我就用最最最基本的方法来做吧。写起来比较麻烦，但是用的知识都很简单。
19. 分子分母同时乘以 (1+x)^((n-1)/n) + (1+x)^((n-2)/n) + …… + (1+x)^(1/n) +1 ，
利用 x^n -1 = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + …… +x +1) ，这里取x为(1+x)^(1/n)，
分子变为 (1+x) -1 = x ，
分母变为 x/n * [(1+x)^((n-1)/n) + (1+x)^((n-2)/n) + …… +(1+x)^(1/n) +1 ]，
原分式 = n/ [(1+x)^((n-1)/n) + (1+x)^((n-2)/n) + …… +(1+x)^(1/n) +1 ]，
因为 [(1+x)^((n-1)/n) + (1+x)^((n-2)/n) + …… +(1+x)^(1/n) +1 ] → 1 + …… +1 （共 n 个1 相加）=n， 所以 原极限 = n/n =1 。
20 分子分母同时乘以 [√(1-x) +3] [4 - 2 x^(1/3) + x^(2/3)]，
利用平方差公式 a² - b² = (a - b)(a + b)，以及 立方和公式a^3+b^3 = (a+b)(a² - ab +b²)，
分子变为 -(x+8)[4 - 2 x^(1/3) + x^(2/3)]，
分母变为 (x+8)[√(1-x) +3]
原分式化简为： - [4 - 2 x^(1/3) + x^(2/3)]/ [√(1-x) +3] ，
当x→-8时， 4 - 2 x^(1/3) + x^(2/3) → 4-2×(-2) + 4 = 12， √(1-x) +3 → 3+3 =6 ，
所以原极限 = -12/6 = -2 。
23. 原式可以看成是分母为1的分式，分子分母同时乘以 √(x² + x +1) + √(x² - x +1)，
利用平方差公式，原分式 = 2x / [√(x² + x +1) + √(x² - x +1)]
分子分母同时除以x>0， 分子=2，
分母 = √[1 + (1/x) +(1/x)^2] + √[1 - (1/x) +(1/x)^2] → 1+1 =2,
所以原极限 = 2/2 =1 。