Question

求函数的值域和单调区间. （1）y=（2x²+X+8）/x （2）y=x+2√(4-x)

Answer 1

(1)y=(2x^2+x+8)/x=2x+8/x+1,
当x>0时,2x+8/x+1>=2V2x*8/x+1=2*4+1=9,即x>=9 (当且仅当2x=8/x时，即x=2时)
当x<0时,-2x-8/x>=2V(-2x)*(-8/x)=8, 2x+8/x<=-8 , 2x+8/x+1<=-8+1=-7，(当x=-2时)
值域为x<=-7或x>=9
单调区间：(-∞,-2], [2,+∞),单调递增， (-2,0), (0,2),单调递减
(2)y=x+2V(4-x)，定义域为(-∞,4]
令V(4-x)=t>=0, x=4-t^2 原函数式为y=4-t^2+2t=-(t-1)^2+5, (t>=0),
当t=1时，即V(4-x)=1,所以x=3时，y=5, 值域为y<=5
单调区间： (-∞,3]单调递增， (3,4]单调递减

Answer 2

（1）y=（2x²+X+8）/x
=2x+8/x+1
≥8+1=9 x>0 x=2 y=9
≤-8+1=-7 x<0 x=-2 y=-7
值域 (-∞,-7]∪[9,+∞)
单增区间(-∞,-2]，[2,+∞)
单减区间（-2，0），（0，2）
（2）y=x+2√(4-x)=-[√（4-x)]²+2√(4-x)+4=-[√(4-x)-1]²+5≤5
值域 (-∞,5]
t=√(4-x) y=5-(t-1)²
当x<3 时 t >1 t减函数 y 是减函数 y=x+2√(4-x）是增函数（复合函数同增异减）
当3<x<4 时 0< t<1 t减函数 y 是增函数 y=x+2√(4-x）是减函数（复合函数同增异减）