Question

一道数学题：已知P（3,4）为椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1(a>b>0)上一点，PF1垂直PF2,求椭圆方程

Answer 1

解：O是F1F2中点，△PF1F2是直角△，F1F2是斜边，所以PO=OF1=OF2=5（直角△斜边上中线等于斜边的一半）
因为OF1=c，所以c=5（c是半焦距，F1、F2坐标是（±c，0））
因为c²=a²-b²，所以a²-b²=25 ①
再把P点坐标带入椭圆方程，9/a²+16/b²=1 ②
联立①②可得，a²=45，b²=20
所以椭圆方程为x²/45+y²/20=1

Answer 2

首先画坐标轴
∵F1 F2是椭圆焦点 PF1 ，PF2垂直,
∴ P点是以坐标轴原点o点位圆心，F1F2为直径的圆上的点，
∵F1，F2是焦点所以OF1=√（a^2-b^2）
∴以o点位圆心，F1F2为直径的圆方程是x^2+y^2=a^2-b^2 因为P在椭圆和圆上
∴得到方程（1）a^2-b^2 =25 （2）9/a^2+16/b^2=1
∴解方程 b^2=20 a^2=45
∴x²/45+y²/20=1

Answer 3

F1(C,0) F2(-C,0)
K1=4/3-c K2=4/3+C
K1*K2=-1 .........1
又点p在椭圆上，带入有
9/a^2+16/b^2=1........2
由1 2即可求出。

还可从几何出发。
三角形PF1F2为直角三角形，O为F1F2中点。F1F2=2PO PO=5
F1F2=10 C=5
PF1+PF2=2a
画图算出 2a=6根号5 a=3倍根号5 b=2倍根号5