Question

高一函数数学题！！！求解

已知函数f(x)的定域义为R，且对任 意实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b), 且当X>1时，f(x)>o，f（2）=1， （1）判断奇偶性。（2）证明f（x） 在（0，正无穷）上是增函数。

Answer 1

解：（1）因为对任意实数a、b满足：f（ab）=f(a)+f(b),
所以：f（2）=f（1*2）=f（1）+f（2），有f（1）=0
又：f（1）=f（（-1）*（-1））=f（-1）+f（-1），有f（-1）=0
再取：f（-x）=f（（-1）*x）=f（-1）+f（x） =f（x）
函数f（x ）为偶函数。
（2）因为f（1）=f（x*（1/x））=f（x）+f（1/x）=0
所以f（x）= - f（1/x） f（1/x）= - f(x)
下面用定义法证明：
取0<x1<x2,
f(x2)-f(x1)=f(x2) +f(1/x1)=f(x2/x1)
因为0<x1<x2，所以x2/x1 > 1
当x>1时，f(x)>o
因为x2/x1 > 1 , 所以f(x2/x1)) > o
故f(x2)-f(x1)=f(x2/x1) > o
有f(x2) > f(x1)
函数在0到正无穷大上为增函数

Answer 2

f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0
f(o)=f(x-x)=f(x)+(-x)=0 f(-x)=-f(x) 所以f(x)是奇函数
x1>x2 x1-x2>0 f(x1-x2)<0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0 f(x1)<f(x2) 所以f(x)是减函数
所以f(x)在[-3,3)上是有最大值f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,而无最小值

Answer 3

（1）因为f(2)=2,所以有f（1*2）=f(1)+f(2)得f(1）=0，f( (-1)*(-1) )=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,所以f(-1)=0,所以该函数为偶函数。
（2）因为f(1)=0,f(x)>o(x>1)时，所以该函数为增函数