Question

已知函数y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,f(x)>0,试判断F(x)=1/f(x)在(0,+∞）上的单调性并证明

Answer 1

因为f(x)是偶函数
则其图像关于y轴对称
所以 在(0,+∞）上是减函数
又因为f(x)>0
所以f(x)与1/f(x)的单调性是相反的
故F(x)=1/f(x)在(0,+∞）上是增函数！望追问，采纳。

Answer 2

解：
设x1＞x2＞0,那么-x2＜-x1＜0，那么-x2，-x1转化到属于(-∞,0)

区间上了。又因为函数y=f(x) 是偶函数，且在(-∞,0)上是增函数，

f(x)>0

∴ f(x2)＝f(-x2)＞0， f（x1）＝f（-x1）＞0

f(-x2)＜f（-x1）

→f(x2) ＜f（x1）→f（x1）－f(x2)＞0

定义法

∵F(x)=1/f(x)

∴F(x2)－ F(x1)

＝1/f(x2) －1/f(x1)

＝（f（x1）－f(x2)）/ f（x1）×f(x2)

∵f（x1）－f(x2)＞0

f（x1）＞0

f（x1）＞0
∴F(x2)－ F(x1) ＝[（f（x1）－f(x2)）/ f（x1）×f(x2)]＞0

∴F(x2)＞ F(x1)

∴F(x)=1/f(x)在(0,+∞）是减函数