Question

高等数学求通解

Answer 1

1、这是齐次微分方程，
设v=y/x,
y=vx,
dy/dx=xdv/dx+v,(1)
dy/dx=v^2+8v+12,（2）
联立（1）、（2）式，
v^2+8v+12=dv/dx+v，
xdv/dx=v^2+7v+12,
dv/(v^2+7v+12)=dx/x,
∫d(v+7/2)/[(v+7/2)^2-1/4]=∫dx/x
ln|v+7/2-1/2|-ln|v+7/2+1/2|=lnx+lnC
ln|v+3|-ln|v+4|=ln(C1x),
ln|y/x+3|-ln|y/x+4|=ln(Cx)
(y+3x)/(y+4x)=Cx,
∴微分方程的通解为：4Cx^2+Cxy-y-3x=0,其中C是常数。
2、设P=x/[2(1-x^2)],Q=x/2,
这是一阶线性方程，
设dy/dx+Py=0,
dy/y=-Pdx,
∫dy/y=-∫Pdx,
lny=-∫Pdx,
lny=-(1/4)∫d(1-x^2)/(1-x^2)
lny=ln(1-x^2)^(1/4)+lnC1,
y=C1(1-x^2)^(1/4),
y=C1e^(-∫Pdx),
e^(-∫Pdx)=(1-x^2)^(1/4)
利用参数变易法，
令y=v*e^(-∫Pdx)
dy/dx=(dv/dx)*e^(-∫Pdx)-Pve^(-∫Pdx),
(dv/dx)*e^(-∫Pdx)-Pve^(-∫Pdx)+Pv*e^(-∫Pdx)=x/2,
(dv/dx)*e^(-∫Pdx)=x/2,
dv=(x/2)*e^(∫Pdx)dx,
dv=(x/2)(1-x^2)^(-1/4)dx,
v=（-1/4）∫(1-x^2)^(-1/4)d(1-x^2)
=(-1/4)(1-x^2)^(3/4)/(3/4)+C2
=(-1/3)(1-x^2)^(3/4)+C2,
∴y=[(-1/3)(1-x^2)^(3/4)+C2](1-x^2)^(1/4)
=(-1/3)[(1-x^2)+C(1-x^2)^(1/4)].
当x=0,
y=(-1/3)(1+C*1)=2/3,
C=-3,
∴当y(0)=2/3时的特解为：
y=(-1/3)[(1-x^2)-3(1-x^2)^(1/4)].

Answer 2

第一个问题：
令y/x＝A，则y＝Ax，∴y′＝A′x＋A。
∴原方程可变成：A′x＋A＝A^2＋8A＋12，∴x（dA/dx）＝A^2＋7A＋12，
∴［1/（A^2＋7A＋12）］dA＝（1/x）dx，
∴∫［1/（A^2＋7A＋12）］dA＝∫（1/x）dx，
∴∫｛1/［（A＋3）（A＋4）］｝dA＝ln｜x｜，
∴∫｛［（A＋4）－（A＋3）］/［（A＋4）（A＋3）］｝dA＝ln｜x｜，
∴∫［1/（A＋3）］dA－∫［1/（A＋4）］dA＝ln｜x｜，
∴ln｜A＋3｜－ln｜A＋4｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜，
∴ln｜（A＋3）/（A＋4）｜＝ln｜Cx｜，
∴｜（y/x＋3）/（y/x＋4）｜＝｜Cx｜，
∴｜（y＋3x）/（y＋4x）｜＝｜Cx｜，
∴y＋3x＝Cx（y＋4x）＝Cxy＋4Cx^2，
∴（1－Cx）y＝4Cx^2－3x，
∴y＝（Cx^2－3x）/（1－Cx）。
∴原微分方程的通解是：y＝（Cx^2－3x）/（1－Cx）。

第二个问题：
原方程可变成：2（1－x^2）y′＋xy＝x，∴－2（x^2－1）y′＝x（1－y），
∴2（x^2－1）（1－y）′＝x（1－y），
∴［1/（1－y）］d（1－y）＝｛x/［2（x^2－1）］｝dx，
∴∫［1/（1－y）］d（1－y）＝∫｛x/［2（x^2－1）］｝dx，
∴ln｜1－y｜＝（1/4）∫［1/（x^2－1）］d（x^2－1）＝（1/4）ln｜x^2－1｜＋C。
∵y（0）＝2/3，
∴ln｜1－2/3｜＝（1/4）ln｜0－1｜＋C，∴C＝ln（1/3）＝－ln3。
∴原微分方程的特解是：ln｜1－y｜＝（1/4）ln｜x^2－1｜－ln3。