Question

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2c-a)cosB-bcosA=0 (1)若b=7，a+c=13，求此三角形...

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2c-a)cosB-bcosA=0
(1)若b=7，a+c=13，求此三角形的面积
(2)求 根号3×sinA+sin(C-派/6)的取值范围

Answer 1

(2c－a)cosB－bcosA=0
(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA=0
2sinCcosB－sinAcosB－sinBcosA=0
2sinCcosB=sinAcosB＋cosAsinB
2sinCcosB=sin(A＋B)
2sinCcosB=sinC
cosB=1/2
则：B=60°
又：b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac=(a＋c)²－3ac
因b=7、a＋c=13，得：ac=40
S=(1/2)acsinB=10√3

√3sinA＋sin(C－π/6)
=√3sin(2π/3－C)＋sin(C－π/6)
=√3cos(π/6－C)＋sin(C－π/6)
=sin(C－π/6)＋√3cos(C－π/6)
=2sin(C＋π/6)
因为C∈(0，2π/3)，则：C＋π/6∈(π/6，5π/6)，sin(C＋π/6)∈(1/2，1]，则：
√3sinA＋sin(C－π/6)∈(1，2]

Answer 2

由(2c-a)cosB-bcosA=0得
2ccosB-c=0,
cosB=1/2,
(1)由余弦定理，49=a^+c^-ac=(a+c)^-3ac=169-3ac,
ac=40,
∴此三角形的面积=（1/2）acsinB=10√3.
（2）A+C=2π/3，
√3sinA+sin(C-π/6)=√3sin(2π/3-C)+sin(C-π/6)
=√3（√3/2*cosC+1/2*sinC)+√3/2*sinC-1/2*cosC
=√3sinC+cosC
=2sin(C+π/6),
C∈(0,2π/3),
∴C+π/6∈（π/6,5π/6），
∴所求取值范围是(1,2].

Answer 3

(2c－a)cosB－bcosA=0
(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA=0
2sinCcosB－sinAcosB－sinBcosA=0
2sinCcosB=sinAcosB＋cosAsinB
2sinCcosB=sin(A＋B)
2sinCcosB=sinC
cosB=1/2
则：B=60°
又：b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac=(a＋c)²－3ac
因b=7、a＋c=13，得：ac=40
S=(1/2)acsinB=10√3

√3sinA＋sin(C－π/6)
=√3sin(2π/3－C)＋sin(C－π/6)
=√3cos(π/6－C)＋sin(C－π/6)
=sin(C－π/6)＋√3cos(C－π/6)
=2sin(C＋π/6)
因为C∈(0，2π/3)，则：C＋π/6∈(π/6，5π/6)，sin(C＋π/6)∈(1/2，1]，则：
√3sinA＋sin(C－π/6)∈(1，2]