Question

已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=？

解：AG=mAM+nAN，共线条件得m+n=1
AG=（1/3）AB+（1/3）AC
AM=xAB，AN=yAC
于是mx=1/3，ny=1/3
得m=1/（3x），n=1/（3y）
于是1/（3x）+1/（3y）=1
3=（x+y）/xy
得xy/（x+y）=1/3
问： 为什么m+n=1，还有为什么1/3AM+1/3AN=AG？能详细说说吗

Answer 1

• 先回答第一个问题：

  这是一个向量共线的基本问题：如果向量满足OA=mOB+nOC的关系（其中m、n为非零实数），且A、B、C三点共线，则必有m+n=1；相反地，如果向量满足OA=mOB+nOC的关系（其中m、n为非零实数），且m+n=1，则必有A、B、C三点共线。证明如下（以本题为例）：

  因为向量MG与向量MN共线（为表述方便，以下线段均指向量），则MG=λMN（λ≠0）

  而MG=AG-AM，MN=AN-AM

  所以AG-AM=λ(AN-AM)，整理得AG=(1-λ)AM+λAN

  令m=1-λ，n=λ，则m+n=1。证毕

• 第二问题引用有误，不是1/3AM+1/3AN=AG，而是1/3AB+1/3AC=AG

  这是重心定理的应用：重心到顶点的距离等于该中线的2/3。以上1/3AB+1/3AC=AG是正确的，理由如下：

  设A点的中线为AD，由平行四边形法则（将三角形补成平行四边形）知2AD=AB+AC

  而AG=2/3AD

  所以有1/3AB+1/3AC=AG