Question

已知实数a、b、c满足a2+ b 2＝1, b 2+ c2＝2, c2+ a2＝2,则ab+bc+ca的最小值和最大值为？

根据a2+b2+c2大于等于ab+bc+ac,推出以下结论：
ab+bc+ca=1/2（a+b+c）2 – 5/2 所以ab+bc+ca》=-5/2
最大值：a2+b2+b2+c2+c2+a2=1+2+2=5》=2ab+2bc+2ac
ab+bc+ac《=5/2
为何最小值和网上流传的1/2-√3不同？具体原因是哪个步骤出错了？最大值这样算正确吗？请教众高手，不要百度来的抄给我，要答疑，谢谢！

Answer 1

不对，如果要3个都同时取等号
a=b=c 就与你题目矛盾了，所以不能这样求，因为不满足同时取等号的条件

告诉你怎么求吧， b 2+ c2＝2, c2+ a2＝2 所以a²=b²
a²+b²=1 所以a²=b²=1/2 那么c²=3/2
最大值 ab+bc+ca=1/2+√2/2x√6/2x2=1/2+√3
最小值 ab+bc+ca=1/2+√2/2x（-√6/2）x2=1/2-√3

追问

最大值看明白了，谢谢！
请您把最小值的具体分类讨论再教一下好吗？因为abc这三个可以不同时负号，比如，ab这一项，最小的应该是-1/2， 同理， bc这一项最小的应该是-根号3，ca这一项最小的应该也是-根号3，那么，三个最小的数相加才最小，最小值应该是-1/2-根号3才对。
为什么是1/2-根号3？

追答

你想啊，bc取负号，那么bc＜0吧 ca取负号 那么ca＜0吧

2个小于0的乘积就大于0吧 bc*ac＞0 c²＞0吧，那么ab＞0吧

所以 bc，ca，ab不能全部同时为负数

明白了吗，不明白再问

Answer 2

嗯 涉及到取等号的条件， 你的这个计算过程中 等号取不到 参考楼上的结论

Answer 3

如果要取等号
则a=b=c
则a2+b2=b2+c2=c2+a2
但这就和a2+ b 2＝1, b 2+ c2＝2, c2+ a2＝2矛盾了