Question

已知〔an〕是递增的数列，其前n项和为Sn且2Sn＝an∧2＋n

求证数列〔an〕是等差数列，

Answer 1

因为 2Sn=an^2+n ……①
那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……②
①-②得 2an=an^2-an-1^2+1
即（an-1）^2=（an-1）^2
因为an>0 两边同时开方得到：
an -1 = an-1
即 an - an-1 =1
故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列
那么an=1+（n-1）*1=n

Answer 2

2Sn＝an²＋n ❶

∴2S(n-1)=a(n-1)²+n-1 ❷

❶-❷得：2Sn-2S(n-1)=2an=an²-a(n-1)²+1

a（n-1）²=an²-2an+1=（an-1）²

∵〔an〕是递增的数列
∴a （n-1）=a n - 1 (n≥2) 即：an-a(n-1)=1 (n≥2)
令n=1, 2a1=a1²+1，a1=1.
所以{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列。

Answer 3

2a1=a1^2+1 得a1=1
由题意得2S(n-1)=a(n-1)^2+n-1
两式相减得2Sn-2S(n-1)=an^2-a(n-1)^2+1整理得2an=an^2-a(n-1)^2+1
故知(an-1)^2=a(n-1)^2故有an-1=a（n-1）或者an-1=-a(n-1)（舍去，不符全递增数列）
即是an-1=a（n-1） an-a（n-1）=1故{an}为首项为1公差为1的等差数列

Answer 4

2*a1=a1^2+1;
a1=1;
2Sn=2S(n-1)+2an
an^2+n=a(n-1)^2+n-1+2an
(an-1)^2=a(n-1)^2
an-a(n-1)=1;
an=n;是初值为1，递增为1 的等差数列。
得证