Question

概率学，均匀分布求联合概率密度函数

在[0,t]上有Z1，Z2 两独立且均匀分布的随机量，假如Z(1)=min{Z1,Z2},Z(2)=max{Z1,Z2},求(Z(1),Z(2))的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function)

求能人解答，万分感谢！

Answer 1

令A=min(Z1,Z2),B=max(Z1，Z2)。即求A，B的联合密度函数。
F(x,y)=P(A<x,B<y) 显然在x<0或者y<0时F(x,y)取0。
下面求x,y 位于[0,t]间时的分布函数。
F(x,y)=P{z1或z2<x;z1<y;z2<y}=P{z1<x,z1<y,z2<y}+P{z2<x,z1<y,z2<y}-P{z1<x,z2<x,z1<y,z2<y}=FZ(min{x,y},y)+FZ(y,min{x,y}}-FZ(min{x,y},min{x,y})
=2min{x,y}y/(t^2)-(min{x,y}/t)^2
当x>=y时，F(x,y)=0;
当x<y时，F(x,y)=x(2y-x)/(t^2)

对F(x,y)求偏导数可得联合概率密度函数
为：
f(x,y)=2/(t^2) (当0<=x<=y<=t时) 其他处f(x,y)为0.

追问

朋友，我想问下，当x>=y时，F(x,y)=0。我得出的是=2(y/t)^2-(y/t)^2=(y/t)^2

能否告知下求偏导数后的值，我好核对下。

再次感谢！

追答

F(x,y)=x(2y-x)/(t^2) 对x和y求偏导数，答案为2/(t^2) 。这个应该是对的，你可以对这个密度函数积分，最终值为1。

(y/t)^2对x和y 求偏导，值为0

Answer 2

令A=min(Z1,Z2),B=max(Z1，Z2)。即求A，B的联合密度函数。
F(x,y)=P(A<x,B<y) 显然在x<0或者y<0时F(x,y)取0。
下面求x,y 位于[0,t]间时的分布函数。