Question

设函数f(x)=-x^2+4ax-3a^2

若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围

Answer 1

解：将函数变形：
f(x)=-(x-2a)^2+a^2 ，对称轴为直线x=2a
因为（1+a）-2a=1-a＞0 所以1+a在直线x=2a右侧
现在讨论1-a与直线x=2a位置关系
一、（1-a）-2a＞0，即0＜a＜1/3时
区间[1-a，1+a]在对称轴右侧
f(x)最大值=f(1-a)≤a 结果恒成立
f(x)最小值=f(1+a）≥-a结果 1/3≤a＜1
所以这情况无解
二、（1-a）-2a＜0即1/3≤a＜1
对称轴在[1-a，1+a]
f(x)max=f(2a)≤a 0＜a＜1
f(1-a）≥-a 7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16
f(1+a）≥-a 1/3≤a＜1
由以上2种情况可得
a的取值范围是 [1/3，(7+√17)/16]

Answer 2

如果1/3≤a<1 那么 1-a≤2a≤1+a => f(2a)≤a f(1-a)》-a f（1+a）》-a
=> 0≤a≤1 ， （7-根号17)/16≤a≤(7+根号17)/16

，a》1/3 => 1/3<a<≤(7+根号17)/16
如果 0＜a＜1/3 那么 2a<1-a
那么 f（1-a） ≤a f（1+a）》-a
=》a》1/3 =》无解
综上所述 1/3≤a<≤(7+根号17)/16