Question

非齐次线性方程组 求以下非齐次方程组

求非齐次线性方程组
x1-5x2+2x3-3x4=11
5x1+3x2+6x3-x4=-1
2x1+4x2+2x3+x4=-6

的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

求详解！！谢谢！！！

Answer 1

写出线性方程组的增广矩阵，用初等行变换来解

1 -5 2 -3 11
5 3 6 -1 -1
2 4 2 1 -6
～ 第2行减去第1行×5，第3行减去第1行×2
1 -5 2 -3 11
0 18 -4 14 -56
0 14 -2 7 -28
～ 第2行减去第3行×2，再除以-10
1 -5 2 -3 11
0 1 0 0 0
0 14 -2 7 -28
～ 第1行加上第2行×5，第3行减去第2行×14
1 0 2 -3 11
0 1 0 0 0
0 0 -2 7 -28
～ 第1行加上第3行，第3行除以-2
1 0 0 4 -17
0 1 0 0 0
0 0 1 -3.5 14
显然取x1= -17，x2=0，x3=14，x4=0即为其特解，
而向量(-4，0，3.5，1)^T为齐次方程的通解的基础解系

追问

错了哦
～ 第2行减去第1行×5，第3行减去第1行×2
1 -5 2 -3 11
0 18 -4 14 -56
0 14 -2 7 -28
不是18而是28哦

追答

sorry sorry，马虎了呢，不好意思啊
1 -5 2 -3 11
5 3 6 -1 -1
2 4 2 1 -6
～ 第2行减去第1行×5，第3行减去第1行×2
1 -5 2 -3 11
0 28 -4 14 -56
0 14 -2 7 -28
～ 第2行减去第3行×2，第3行除以14，第2行和第3行交换
1 -5 2 -3 11
0 1 -1/7 1/2 -2
0 0 0 0 0
～ 第1行加上第2行×5
1 0 9/7 -1/2 1
0 1 -1/7 1/2 -2
0 0 0 0 0
显然取x1= 1，x2= -2，x3=0，x4=0即为其特解，
而其系数矩阵的秩为2，故齐次方程的通解中有4-2=2个向量，
令x3=1，x4=0得到x1= -9/7，x2=1/7
令x3=0，x4=1得到x1= 1/2，x2=-1/2

故齐次方程的通解的基础解系为：
k1*(-9/7，1/7，1，0)^T+k2*(1/2，-1/2，0，1)^T