Question

若关于x的一元二次方程x^2-4x+3-t=0(t为实数)在-1<t<7/2的范围内有解，求t的取值范围。

要求用纯代数方法，，数形结合的我懂，但老师说纯代数能做出来，求解

Answer 1

若关于x的一元二次方程x^2-4x+3-t=0(t为实数)在-1<t<7/2的范围内有解，求t的取值范围。
解：你这个题目有问题吧，应该是在-1<x<7/2有解。
设f(x)=x^2-4x+3-t
要保证在-1<x<7/2有根：
1）情况1，有一个根
则必有f(-1)(f(7/2)<0
即（t-8)(t-47/4)<0
则8<t<47/4
2)情况2，有两个根
则必有：
f(-1)>0,即8-t>0,t<8
f(7/2)>0,即t<47/4
且对称轴=2∈（-1,7/2）
判别式=16-12+4t>0,即t>-1
则-1<t<8

综上t∈(-1,8)并(8,47/4)

追问

1）情况1，有一个根
则必有f(-1)(f(7/2)0,即8-t>0,t0,即t0,即t>-
请写成初中的函数表达式写法，看不懂

追答

你好，你把f(x)换成y就是，f(-1)就是当x=-1时，y的值
依次类推

追问

有一个根
则必有f(-1)(f(7/2)<0
即（t-8)(t-47/4)<0
这步还是没能理解，帮我解释一下好吗？

追答

你好要保证在这里面有一个根，那么在-1和7/2这两个地方的函数值，必然是异号的，这样才能保证函数在-1<x<7/2之间与x轴相交，方程才有解

追问

其实我想问你这题能不能纯用关于一元二次方程的知识来解答，能不能不用函数？

追答

这是一元二次方程根的分布问题，必须结合函数来做的，一元二次方程和函数本来就是紧密相连的，必须要掌握

解：你这个题目有问题吧，应该是在-10,即8-t>0,t0,即t0,即t>-1
则-1<t<8

综上-1<t<8或8<t<47/4

Answer 2

解：
t=x²-4x+3=(x-2)²-1=f(x)
f(x)=(x-2)²-1,
这是二次函数，开口向上，(x-2)²>=0, 当x=2时取最小值
在-1<x<7/2时，
当x=2时f(x)有最小值tmin=-1,
当x=-1时f(x)有最大值tmax=8
即f(x)的值域为[-1.，8）
所以有：-1≤t<8

希望有帮到你！

追问

说了纯代数。。。能不能不利用二次函数图像，单纯用二次方程？

追答

那没办法了