Question

计算二重积分∫∫(|x|+y),其中D={(x,y)|x^2+y^2≤1} 急急急啊

Answer 1

其实本题处理很简单。

单位元围成的区域的积分除了考虑极坐标，其实，该区域完全对称。故很多时候可以用对称性删去一些像。像是本题。

∫∫|x|dx在D上的结果等于2∫∫xdx在D上半部分上的结果，直角坐标也好，极坐标也好都不难积分。

而∫∫ydx在D上的结果等于0

追问

过程啊 过程 就要过程好吧……

Answer 2

解： ∫∫<D>(|x|+y)dxdy
=∫<0,π/2>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<π/2,3π/2>dθ∫<0,1>(-rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<3π/2,2π>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr (作极坐标变换)
=∫<0,π/2>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<π/2,3π/2>(-cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<3π/2,2π>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
=2*(1/3)+2*(1/3)+0*(1/3) (约去积分运算)
=4/3。

追问

这个有考虑x^2+y^2小于等于1？要确定对啊大哥……

追答

对呀！x^2+y^2≤1就是对应极坐标0≤r≤1。

Answer 3

1. 负一。       过程要？
   

追问

当然要 ，多谢