Question

函数的取值范围

若函数y=（x+2a）/（2x-1)在﹙1/2,正无穷﹚为增函数，则实数a的取值范围

请详详细写解题过程·，谢谢。

Answer 1

方法一：
y＝［（x－1/2）＋2a＋1/2］/（2x－1）＝1/2＋（2a＋1/2）/（2x－1）。
∴在区间（1/2，＋∞）上，2x－1＞0，且随x的增大而增大。
∴要使y在此区间为增函数，就需要2a＋1/2＜0，∴2a＜－1/2，∴a＜－1/4。
∴满足条件的a的取值范围是（－∞，－1/4）。

方法二：
∵y＝（x＋2a）/（2x－1），
∴y′＝［（2x－1）－2（x＋2a）］/（2x－1）^2＝－（2a＋1）/（2x－1）^2。
令y′＞0，得：－（4a＋1）/（2x－1）^2＞0，∴4a＋1＜0，∴4a＜－1，∴a＜－1/4。
∴满足条件的a的取值范围是（－∞，－1/4）。

追问

我的答案与您一样，但我下一行的问题没算明白，请帮忙分析一下，谢谢。
若函数（2x-1)/（x+2a）在﹙2,正无穷﹚为增函数，则实数a的取值范围怎么求解

答对，可追加悬赏分。

追答

方法一：
f（x）
＝（2x－1）/（x＋2a）＝［（2x＋4a）－1－4a］/（x＋2a）＝2－（1＋4a）/（x＋2a）。
显然，当x＞2时，x＋2a随x的增大而增大。
∴要使f（x）在区间（2，＋∞）为增函数，就需要：1＋4a＞0，∴a＞－1/4。
∴满足条件的a的取值范围是（－1/4，＋∞）。

方法二：
∵
f（x）＝（2x－1）/（x＋2a）
∴f′（x）＝［2（x＋2a）－（2x－1）］/（x＋2a）^2＝（4a＋1）/（x＋2a）^2。
令f′（x）＞0，得：（4a＋1）/（x＋2a）^2＞0，∴4a＋1＞0，∴4a＞－1，∴a＞－1/4。
∴满足条件的a的取值范围是（－1/4，＋∞）。

追问

解题不完整，再思考一下。

Answer 2

1。如果你学习了导数，那么这么作：y'=(-1-4a)/(2x-1)^2>0在(1/2,＋无穷）上恒成立，
所以a<-1/4
2。如果你没有学习导数，那么这么作：y=1/2+(2a+1/2)/2x-1,则2a+1/2<0,所以a<-1/4

Answer 3

分离常数后，分子小于0