Question

已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*，Sk，Sk+2，Sk+1

已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*，Sk，Sk+2，Sk+1，成等差数列

Answer 1

(1)解∵q= -1/2，a3=1/4
　　由(a1)q²=a3得：(a1)(-1/2)²=1/4
　　∴(a1)=1
　　∴数列an前n项的和
　　Sn=[(a1)(1-qⁿ)]/(1-q)
　　={1×[1-(-1/2)ⁿ]}/[1-(-1/2)]
　　=[2-2·(-1/2)ⁿ]/3
(2)证明：∵k∈N*
　　∴2[S(k+2)]-{(Sk) +[S(k+1)]}
　　=2[S(k+2)]-(Sk) -[S(k+1)]
　　=2{(a1)[1-q^(k+2)]}/(1-q)-{(a1)[1-(q^k)]}/(1-q)-{(a1)[1-q^(k+1)]}/(1-q)
　　=[(a1)(q^k)]/(1-q) · (2q²-1-q) ①
　　∵q=-1/2
　　∴2q²-1-q=2×(-1/2)²-1-(-1/2)=1/2-1+1/2=0
　　∴ ①式=0
　　∴2[S(k+2)]-{(Sk) +[S(k+1)]}=0
　　∴S(k+2)、(Sk) 、S(k+1)，成等差数列

Answer 2

因为a3=1/4,所以a1=1
∴Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)
∵a1=1,q= -1/2 ∴Sn=2*(1-(1/2)^n)

若 对任意k∈N*，Sk，Sk+2，Sk+1所以2*Sk+2=Sk+Sk+1
所以：代入Sn得:4-4/（2^（n+2))=2-2/(2^(n+1))+2-2/(2^n)
整理得：