Question

用定义证明f(x)=x^3 x在R上为增函数

Answer 1

1.増函数的定义证明:
令a<b，则f(a)-f(b)=
a^3-b^3
=(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)[(a-b/2)^2+3b^2/4]
因为a<b，所以a-b<O，又因为平方式>=O，且中括号内的平方式不同为O，所以f(a)<f(b)即f(x)单调递增。
2.用导数的定义证明:
f(x)=x^3
f'(x)=3x^2>=O
故f(x)为增函数。
3.用奇偶性证明:
因为f(-x)=-f(x)且Kerf(定义域)=R，所以f(x)为奇函数且左右单调性对称，在(O，+无穷)上讨汇论.f(x)为连续函数，又因为f(x)具有反函数，所以f(x)具有单调性，而f(x)在O处有定义，故f(O)=O，f''(x)在(O，+无穷)大于零，所以f(x)为下凸函数，所以f(x)在(O，+无穷)单调递增且f(x)是连续的奇函数，故f(x)在R单调递增。

Answer 2

设x1＞x2
f（x1）-f（x2）= （x1)³-（x2）³
= （x1-x2）[(x1)²-x1xx2+(x2)²]
因为x1＞x2，故x1-x2＞0
（x1)²-x1xx2+(x2)²= [x1-(x2/2）]²+ 3/4(x2)² ＞0
所以f（x1）-f（x2）＞0
故f(x)=x^3 x在R上为增函数

Answer 3

对f（x）求导的2X^3>=0恒成立所以为函数