Question

求极限，大一数学分析

求极限

求极限
详细解答过程





Answer 1

1. 分子分母同时乘以 （1-α），
因为 （1-α）（1+ α）= 1- α ²， 重复利用这个公式，
整理得分子为 1- α^(2^(n+1)) ，因为 | α | <1 ， 所以
当n → ∞ 时， 1- α^(2^(n+1)) → 1 。
所以 所求极限为 1/(1- α) 。

2.
设 an = (1/2) × (3/4)× …… × ((2n-1)/(2n)) ，
因为 第 n+1 项 为：
a(n+1) = an × (2n+1)/(2n+2) < an，所以 an 为单减数列。
利用数学归纳法，可证 0< an <1 .
所以 an 收敛，即原极限存在，设为 a 。则 0 ≤ a ≤ 1 。
计算 an 的平方，得
an ^2 = (1/4) × (9/16)× …… × ((2n-1)^2 /(2n)^2) ，
因为 (2n-1)^2 /(2n)^2 <(2n-1)^2 / [(2n)^2 -1] = (2n-1)/(2n +1)
所以 an^2 ＜ (1/3) × (3/5)× …… × ((2n-1)/(2n+1)) = 1/(2n+1)
两边取极限，得 a^2 ≤ 0。
所以 a = 0 。

Answer 2

晕，这是谁出的题，太奸诈了

这个是需要展开的
展开之后刚好是
1＋a平方＋a三次方＋a4次＋a5次＋……＋a的（1＋2＋……＋2的n次)次方

括号里的是等比的和 总体也是等比的和

然后就好说了

然后…没有然后了…

Answer 3

(1)解：因为1/2<2/3,3/4<4/5,.........(2n-1)/(2n)<(2n)/(2n+1)
于是[(1/2) (3/4)…((2n-1)/(2n)) ]^2
<[(1/2) (3/4)…((2n-1)/(2n)) ][(2/3) (4/5)…((2n)/(2n+1)) ]
=1/(2n+1)→0
所以：lim[(1/2) (3/4)…((2n-1)/(2n)) ]=0

由于：(1-a)(1+a)(1+a^2)......(1+a^(2^n))
=(1-a^2)(1+a^2)......(1+a^(2^n))
=(1-a^4)(1+a^4)......(1+a^(2^n))
=1+a^(2^(n+1) →1 ( |a|<1)
所以：lim(1+a)(1+a^2)......(1+a^(2^n))=1/(1-a)