Question

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x次方

（1)求函数f(x)的解析式
（2）写出函数f（x）的单调区间和值域
（3）求使f(x)＞a恒成立的实数a的取值范围

Answer 1

函数为奇函数.
那么函数关于原点对称.f(x)=-f(-x)
当x>0时,f(x)=-f(-x)=-1-2^(-x)
而x在R上有定义,所以f(0)=0
因此
1.解析式为
当x>0时,f(x)=-1-2^(-x),
f(0)=0,
当x<0时,f(x)=1+2^x,
2.由于奇函数具有相同的单调性.
而2^x单调递增.
因此函数为在(-无穷,0)上为增函数,在(0,+无穷)上为增函数.
值域为
当x>0时,f(x)=-1-2^(-x),值域为(-2,-1)
f(0)=0,值域为0
当x<0时,f(x)=1+2^x,值域为(1,2)
3.根据值域可知
若f(x)＞a恒成立,那么a小于值域的最小值.
也就是a<=-2

Answer 2

1，x<0, f(x)=1+2^x
x>0, -x<0, f(x)=-f(-x)=-[1+2^(-x)]
f (x) = -1 - 2^(-x) (x > 0)
= 0 (x = 0)
= 1 + 2^x (x < 0)
2，x<0时函数单调增，值域（1，2）
x>0时也是单调增，值域（-2，-1）
x=0为间断点。
3，x<0时，a的取值范围a< 1 即a<1
x>0时，a的取值范围 a<-2
于是有a<-2

Answer 3

1.当 x > 0 时 -x < 0
所以 f(-x) = 1 + 2^(-x)
因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以 f(x) = -f(-x) = -1 - 2^(-x) 且 f(0) = 0
综上：
f(x) = -1 - 2^(-x) (x > 0)
= 0 (x = 0)
= 1 + 2^x (x < 0)
2.由于奇函数具有相同的单调性.
而2^x单调递增.
因此函数为在(-无穷,0)上为增函数,在(0,+无穷)上为增函数.
值域为
当x>0时,f(x)=-1-2^(-x),值域为(-2,-1)
f(0)=0,值域为0
当x<0时,f(x)=1+2^x,值域为(1,2)
3.根据值域可知
若f(x)＞a恒成立,那么a小于值域的最小值.
也就是a<=-2