Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为根号3/2.求

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为根号3/2.求椭圆的标准方程
（2）在（1）的条件下，设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B两点，且∠AOB为锐角（其中O味坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围

Answer 1

1.
2a=4,a=2,e=c/a=根号3/2,则有c=根号3

c^2=a^2-b^2,b^2=a^2-c^2=4-3=1
故椭圆方程是x^2/4+y^2=1.
2.
设y=kx+2，代入椭圆方程：(1+4k^2)x^2+16kx+12=0。
判别式=256k^2-48-192k^2=64k^2-48>0，k^2>3/4，k<-√3/2或k>√3/2。
xA+xB=-16k/(1+4k^2)，xAxB=12/(1+4k^2)。
yAyB=k^2xAxB+2k(xA+xB)+4
=12k^2/(1+4k^2)-32k^2/(1+4k^2)+(4+16k^2)/(1+4k^2)
=(4-4k^2)/(1+4k^2)
向量OA*向量OB=xAxB+yAyB=12/(1+4k^2)+(4-4k^2)/(1+4k^2)=(16-4k^2)/(1+4k^2)>0
k^2<4，-2<k<2
所以，直线L的斜率的取值范围是(-2,-√3/2)U(√3/2,2)