Question

对于函数f(x)=a-2/(b^x+1),(a∈R,b>0且b≠1) （1）判断函数的单调性并证明

2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？并说明理由。

Answer 1

（1）设X1<X2，
f(x1)-f(x2)=a-2/(b^x1+1)-a-2/(b^x2+1)
整合后得
f(x1-)-f(x2)=2(b^x2-b^x1)/[(b^x1+1)(b^x2+1)]
因为b>0,所以[(b^x1+1)(b^x2+1)]>0
当1>b>0时，则b^x2-b^x1<0
当1<b时，则b^x2-b^x1>0
因此f(x)函数在b>1时，是单调递增的
1>b>0时，是单调递减的
（2）假设f(x)是奇函数，则有f(x)=-f(-x)
a-2/(b^x+1)=-a+2/(b^(-x)+1)
移项整合后得
2a=2/(b^x+1)+2/(b^(-x)+1)
两边同消2
a=1/(b^x+1)+1/(b^(-x)+1)
右边通分后得a=1
因此当a=1时，f(x)为奇函数

Answer 2

1，f(x)=a-2/(b^x+1)
0＜b＜1，b^x单调减；b^x+1单调减；f(x)=a-2/(a^x+1)单调减。
证明：
令x1＜x2
f(x2)-f(x1) = 【a-2/(b^x2+1)】-【a-2/(a^x1+1)】
= 2/(b^x1+1) - 2/(b^x2+1)
= 2(b^x2-b^x1)/{(b^x2+1)(b^x1+1)}
= 2b^x2{1-b^(x1-x2)}/{(a^x2+1)(a^x1+1)}
因为 0<b<1，所以 b^x2＞0，(b^x2+1)(b^x1+1)＞0
又：x1＜x2，所以x2-x1＞0
b^(x1-x2)＞1，所以1-b^(x1-x2)＜0
即2b^x1{1-b^(x1-x1)}/{(b^x2+1)(b^x1+1)}＜0
所以 f(x2) ＜f(x1)，得证。
同样可证明b＞1时，f(x)=a-2/(b^x+1)是单调增。

2，当f(x)=a-2/(b^x+1)奇函数，有 f(-x)=-f(x)
2/(b^(-x)+1)+a= -2/(b^x+1)-a
2/(b^(-x)+1) + 2/(b^x+1)+2a = 0
b^x/(1+b^x) +1/(b^x+1)+b = 0
(b^x+1)/(b^x+1) +a = 0
1+a=0
a= -1