Question

有木有哪位高数大神告诉我这些该怎么做啊 第三第四第六题，谢谢啦～尽量详细些

亲 ，帮帮忙啊





Answer 1

3、令t=x^0.5，lim[(cos(x^0.5)]^(1/x)=lim[(cost)^(1/t^2)]=lim{e^[(ln(cost))/(t^2)]}=e^{lim[(ln(cost))/(t^2)]}
=e^{lim[-sint/(2t*cost)]}=e^{lim[-sint/2t]}=e^(-1/2)=1/√e ；
4、分式上下同乘以[(√(1+sinx)+1]
lim{[√(1+sinx)-1]/(e^x-1)}=lim{[(1+sinx)-1]/[(e^x-1)*(√(1+sinx)+1)]}=lim{sinx/[(e^x-1)*(√(1+sinx)+1)]}
=lim{sinx/(e^x-1)}/2=lim{-cosx/e^x}/2=-1/2；
6、lim{[ln(a+x)-ln(a)]/x}=lim{ln[(a+x)/a]/x}=lim{(a/(a+x)}=1；

Answer 2

3.

lim[x->0](cos√x)^(1/x)

=lim[x->0]e^(ln(cos√x)/x)

=lim[x->0]e^(ln(1-sin²√x)/(2x))

=lim[x->0]e^((ln(1-sin²√x)/(-sin²√x)*(-sin²√x)/(2x))

=lim[x->0]e^(-((sin√x)/√x)^2/2)

=e^(-1/2)

=1/√e

4.

由于e^x-1是x的等价无穷小，因此将其代换

可见当x→0时分子分母都趋于0，因此使用洛必塔法则可求得极限

6.

应用对数公式进行等价变形：

于是：