Question

llim(n—>无穷）（a1^n+a2^n......+ak^n)^1/n 其中ai>=0,i=1,2,.....,k.求极限

Answer 1

这个用迫敛性来做
a1^n+a2^n+……+ak^n
因为一共只有k个（即有限个）数，故在这k个数中，必有一个最大值amax
又有ai≥0
因此，可以得到不等式：
amax^n≤a1^n+a2^n+……+ak^n≤k*amax^n
同时开n次方，不等号不改变：
(amax^n)^(1/n)≤(a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)≤(k*amax^n)^(1/n)
即有：
amax≤(a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)≤k^(1/n)*amax

因为，
lim amax
=amax
lim k^(1/n)*amax
=amax*lim k^(1/n)
=amax*1
=amax

故，根据迫敛性，
lim (a1^n+a2^n+……+ak^n)^(1/n)=amax
其中amax=max{a1,a2,……,ak}

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