Question

已知f(x)在[0,1]上连续，求证：

lim(n->∞)∫(0到1)n*f(x)/(1+(n^2)*(x^2))dx=pi*f(0)/2

下面有一个证明，
∵∫(0到1)n*f(x)/(1+(n^2)*(x^2))dx
=∫(0到1)f(x)d(arctannx)
=f(x)*arctannx(0到1)-∫(0到1)arctannxd(f(x))
=f(1)*arctann-∫(0到1)arctannxd(f(x))
∴原式=lim(n->∞)[f(1)*arctann]-lim(n->∞)∫(0到1)arctannxd(f(x))……①
=pi*f(1)/2-∫(0到1)lim(n->∞)arctannxd(f(x))……②
=pi*f(1)/2-∫(0到1)pi*d(f(x))/2……③
=pi*f(1)/2-pi*f(1)/2+pi*f(0)/2
=pi*f(0)/2

我想问下①->②，②->③成立吗，为什么？
对x求积分这种极限运算是否能够和对n求极限这个运算交换顺序，的条件是被积函数一致收敛就行吗？在那有证明？

Answer 1

有问题。
首先1本身就有问题，因为“差的极限等于极限的差”必须要在所有涉及到的极限式都存在的情况下才能成立，但是你并不知道这里最后一个极限式是否存在。

其次，1到2也有问题。因为求极限本身是一种极限运算（因为定积分的定义就是对部分和求极限），因此对x求积分这种极限运算是否能够和对n求极限这个运算交换顺序，在这里是无法判断的——如果你学习函数极限理论的话，会知道这里需要一致收敛性才能保证。

因此你的证明是不完整的。实际上这里的函数列收敛确实是一致收敛，所以好像问题本身确实是正确的。

Answer 2

比1+1=2还简单,你没救了