Question

已知集合A=﹛-4,2a-1,a²﹜B=﹛a-5,1-a,9﹜ (1)若A∩B=﹛9﹜求A∪B

（2）是否存在实数a使得集合A∪B中的元素个数为4个？若存在，求出所有的实数a若不存在说明理由

Answer 1

解
（1）若2a-1=9，解得a=5。A={-4, 9,25}，B={0,-4,9}，A∩B≠{9}；
若a^2=9，解得a=3或-3。当a=3时，A={-4, 5，9}，B={-2， -2， 9}不符合集合元素互异性；
当a=-3时，A={-4， -7， 9}，B={-8， 2， 9}，符合题意。
所以 a=-3。
A∪B={-8， -7， -4， 2， 9}

（2）A∪B元素有4个，说明集合A与B有2个元素相同。
若a-5=-4，解得a=1，A={-4，1,1}不符合集合元素互异性；
若a-5=2a-1，解得a=-4，A={-4，-9,16}，B={-9,5,9}，A∪B元素有5个，不符合题意；
a-5=a^2无解，不予考虑；
若1-a=-4，解得a=5，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}，符合题意。
若1-a=2a-1，解得a=2/3，A={-4,1/3,4/9}，B={-13/3,1/3,9}，不符合题意。
若1-a=a^2解得a=（-1+根号5)/2或（-1-根号5）/2，不符合题意。
若9=2a-1，解得a=5,A={-4, 9,25}，B={0,-4,9}，符合题意。
若9=a^2，解得 a=3或-3，由（1）知都不符合题意

综上，符合题意的a是5。

Answer 2

解：（1）
因为若A∩B=﹛9﹜ 则有2a-1=9或a²=9 得a=5或a=3（或-3）
当a=5时 A=﹛-4，9，25﹜；B=﹛0，-4，9﹜ 则A∪B={-4，0，9,25}
当a=3时 A=﹛-4，5，9﹜； B=﹛-2，-2，9﹜ 由于B中有两个相同值-2 因此a=-3不成立
当a=-3时 A=﹛-4，-7，9﹜；B=﹛-8，4，9﹜ 则A∪B={-8，-7，-4，9}
（2）
由（1）的解答可知，存在实数a=-3使得集合A∪B中的元素个数为4个 即A∪B={-8，-7，-4，9}