Question

设m为自然数，且3<m<15

设m为自然数，且3<m<15，方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根，求答案和过程，多谢

Answer 1

两个整数根，而且m是整数，所以判别式是整数的平方
判别式=4(2m-3)^2-4(4m^2-14m+8)
=16m^2-48m+36-16m^2+56m-32
=8m+4
3<m<15
24<8m<120
28<8m+4<124
又发现8m+4=4(2m+1)是偶数
所以8m+4只可以是偶数平方的只有
6^2,8^2,10^2
即8m+4=36,64,100
m=4,12(舍去7.5)
代入后
m=4:
x=[2(2m-3)±根号(4(2m+1))]/2
=(2m-3)±根号(2m+1)
=(2*4-3)±根号(2*4+1)
=5±3=2,8

m=12:
x=(2m-3)±根号(2m+1)
=(2*12-3)±根号(2*12+1)
=21±5=16,26

所以m=4,x=2,8
m=12,x=16,26

Answer 2

由于m为自然数，2(2m-3)为偶整数。因此，根的判别式
(2(2m-3))^2-4*(4m^2-14m+8)
=16m^2-48m+36-16m^2+56m-32
=8m+4=4*（2m+1)
为了保证方程有两个整数根，因2(2m-3)为偶整数，故这个式子必须有偶数根，才能使他们的和能够被2整除。即由于8m+4=4*（2m+1)，只要2m+1的平方根为整数即可。
当m=4时，根号（2m+1)=3。当m=12时，根号（2m+1)=5。没有其他可满足的m值。
当m=4时，方程为
x^2-10x+16=0, x=2,x=8
当m=12时，方程为
x^2-42x+416=0，x=16, x=26

Answer 3

△=8m+4
m=4,根号△=6，再算方程成立
m=5,根号△不为整数
m=6,7,8,9,10,11根号△都不为整数
m=12根号△=10，方程成立
m=13,14根号△都不为整数

Answer 4

好难啊

追问

初二的

追答

好吧，我算错了